Question

過定點(diǎn)A（-1，1）是否存在直線l，使得點(diǎn)A恰為直線l與橢圓x²+3y²=9相交所得的線段的中點(diǎn)，若存在，請求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：先設(shè)出過A點(diǎn)的直線交橢圓于B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程作差得：（x₁+x₂）（ x₁-x₂）+3（y₁+y₂）（ y₁-y₂）=0；再結(jié)合A點(diǎn)是線段BC的中點(diǎn)即可求出直線的斜率；進(jìn)而得到直線方程．
解答：解：設(shè)過A點(diǎn)的直線交橢圓于B、C兩點(diǎn)，B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）
則有x₁²+3y₁²=9，x₂²+3y₂²=9，（3分）
兩式相減得：（x₁+x₂）（ x₁-x₂）+3（y₁+y₂）（ y₁-y₂）=0（6分）
因?yàn)锳點(diǎn)是線段BC的中點(diǎn)，所以x₁+x₂=-2，y₁+y₂=2 （8分）
代入得：k_BC==（10分）
所以l的方程為y=（x+1）+1（11分）
檢驗(yàn)知：x-3 y+4=0為所求的方程．（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．解決本題的關(guān)鍵在于設(shè)出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程作差得：（x₁+x₂）（ x₁-x₂）+3（y₁+y₂）（ y₁-y₂）=0；再結(jié)合A點(diǎn)是線段BC的中點(diǎn)即可求出直線的斜率．這也是解決此類問題的常用方法．