Question

11．已知F₁、F₂分別為橢圓C₁：$\frac{y^2}{a^2}$+$\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的上、下焦點，其中F₁也是拋物線C₂：x²=4y的焦點，點M是C₁與C₂在第二象限的交點，且|MF₁|=$\frac{5}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知點P（1，3）和圓O：x²+y²=b²，過點P的動直線l與圓O相交于不同的兩點A，B，在線段AB取一點Q，滿足：$\overrightarrow{AP}$=-λ$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{AQ}$=λ$\overrightarrow{QB}$（λ≠0且λ≠±1），探究是否存在一條直線使得點Q總在該直線上，若存在求出該直線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得拋物線的焦點和準線方程，設(shè)M（x₀，y₀）（x₀＜0），運用拋物線的定義求得M的坐標，由橢圓的定義可得2a=|MF₁|+|MF₂|=4，即a=2，c=1，求得b，進而得到橢圓方程；
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），運用向量共線的坐標表示，化簡整理，運用平方差公式和點滿足圓方程，代入即可得到所求定直線．

解答 解：（I）由C₂：x²=4y知F₁（0，1），準線為y=-1，
設(shè)M（x₀，y₀）（x₀＜0），因M在拋物線C₂上，
故$x_0^2=4{y_0}$，又$|{M{F_1}}|=\frac{5}{3}$，由拋物線的定義可得${y_0}+1=\frac{5}{3}$，
解得${x_0}=-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，{y_0}=\frac{2}{3}$，
橢圓C₁的兩個焦點F₁（0，1），F(xiàn)₂（0，-1），點M在橢圓上，
由橢圓定義可得2a=|MF₁|+|MF₂|=$\frac{5}{3}$$+\sqrt{{{（-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}-0）}^2}+{{（\frac{2}{3}+1）}^2}}$=4，
可得a=2，又c=1，則b²=a²-c²=3，
橢圓C₁的方程為：$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1$；
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），
由$\overrightarrow{AQ}$=λ$\overrightarrow{QB}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}_{1}=λ（{x}_{2}-x）}\\{y-{y}_{1}=λ（{y}_{2}-y）}\end{array}\right.$，
即為$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+λ{x}_{2}=x（1+λ）①}\\{{y}_{1}+λ{y}_{2}=y（1+λ）②}\end{array}\right.$；
由$\overrightarrow{AP}$=-λ$\overrightarrow{PB}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}_{1}=-λ（{x}_{2}-1）}\\{3-{y}_{1}=-λ（{y}_{2}-3）}\end{array}\right.$，
即為$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}-λ{x}_{2}=1-λ③}\\{{y}_{1}-λ{y}_{2}=3-3λ④}\end{array}\right.$，
①×③得：$x_1^2-{λ^2}x_2^2=（1-{λ^2}）x$，⑤
②×④得：$y_1^2-{λ^2}y_2^2=3y（1-{λ^2}）$，⑥
又點A，B在圓x²+y²=3上，且λ≠±1，
所以$x_1^2+y_1^2=3$，$x_2^2+y_2^2=3$，
⑤+⑥可得，3-3λ²=（x+3y）（1-λ²），
由λ≠0且λ≠±1，可得x+3y=3，
所以點Q總在定直線x+3y=3上．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用拋物線的定義和橢圓的定義，以及橢圓的基本量的關(guān)系，考查存在性問題的解法，注意運用向量共線的坐標表示和點滿足圓方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．