Question

12．若向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$是同一平面內(nèi)三個(gè)向量，其中$\overrightarrow{a}$=（2，1）．
（1）若$\overrightarrow$=（1，m），且$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若$\overrightarrow{c}$為單位向量，且$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，求向量$\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，利用兩向量垂直，數(shù)量積為0，列出方程即可求出m的值；
（2）設(shè)出$\overrightarrow{c}$=（x，y），根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（2，1），$\overrightarrow$=（1，m），
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（3，1+m），$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（1，1-m）；
又$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=3+（1+m）（1-m）=0，
解得m=±2；
（2）設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y），
由$\overrightarrow{c}$為單位向量，得x²+y²=1①；
又$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，∴2y-x=0②；
由①、②組成方程組，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{y=\frac{\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{y=-\frac{\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$；
∴向量$\overrightarrow{c}$=（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）或（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算問題，也考查了向量的垂直和共線問題，是基礎(chǔ)題目．