Question

9．如圖，在圓內(nèi)畫(huà)1條線段，將圓分割成兩部分；畫(huà)2條相交線段，彼此分割成4條線段，將圓分割成4部分；畫(huà)3條線段，彼此最多分割成9條線段，將圓最多分割成7部分；畫(huà)4條線段，彼此最多分割成16條線段，將圓最多分割成11部分．

（1）猜想：圓內(nèi)兩兩相交的n條線段，彼此最多分割成多少條線段？
（2）記在圓內(nèi)畫(huà)n條線段，將圓最多分割成a_n部分，歸納出a_n+1與a_n的關(guān)系．
（3）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)a_n+1與a_n的關(guān)系及數(shù)列的知識(shí)，證明你的猜想是否成立．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)前幾項(xiàng)的值即可得出結(jié)論；
（2）通過(guò)前幾項(xiàng)的值即可得出結(jié)論；
（3）通過(guò)（2）、利用疊加法，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）彼此最多分割成n²條線段；
（2）依題意，a₂-a₁=4-2=2，
a₃-a₂=7-4=3，
a₄-a₃=11-7=4，
∴歸納出關(guān)系：a_n+1-a_n=n+1；
（3）猜想：a_n=$\frac{{{n^2}+n+2}}{2}$．
證明如下：
∵a₂-a₁=4-2=2，
a₃-a₂=7-4=3，
a₄-a₃=11-7=4，
…
a_n-a_n-1=n，
累加得：a_n-a₁=2+3+…+n=$\frac{（n-1）（2+n）}{2}$，
∴a_n=$\frac{（n-1）（2+n）}{2}$+a₁
=$\frac{（n-1）（2+n）}{2}$+2
=$\frac{{{n^2}+n+2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查歸納推理能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．