Question

7．設m∈R，不等式mx²-（3m+1）x+2（m+1）＞0的解集記為集合P．
（I）若P=（x|-1＜x＜2），求m的值；
（Ⅱ）當m＞0時，求集合P；
（Ⅲ）若{x|-3＜x＜2}⊆P，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因為P={x|-1＜x＜2}，所以方程mx²-（3m+1）x+2（m+1）=0的兩根為-1和2，根據(jù)根與系數(shù)的關系即可求出m的值；
（Ⅱ）不等式mx²-（3x+1）x+2（2m+1）＞0可化為（x-2）[mx-（m+1）]＞0，需要分類討論，即得到不等式的解集；
（Ⅲ）依題意，當x∈（-3，2）時，不等式mx²-（3m+1）x+2（m+1）＞0恒成立，分類討論即可求出m的范圍．

解答 解：（I）因為P={x|-1＜x＜2}，
所以方程mx²-（3m+1）x+2（m+1）=0的兩根為-1和2．
將x=-1代入上述方程，得m（-1）²-（3m+1）（-1）+2（m+1）=0，
解得m=$-\frac{1}{2}$．
（II）不等式mx²-（3x+1）x+2（2m+1）＞0可化為（x-2）[mx-（m+1）]＞0．
當m＞0時，方程m（-1）²-（3m+1）（-1）+2（m+1）=0的兩根為$\frac{m+1}{2}$和2．
①當$\frac{m+1}{m}$=2，即m=1時，解得x≠2．
②當$\frac{m+1}{m}$＞2，即0＜m＜1時，解得x＜2或x＞$\frac{m+1}{m}$．
③當$\frac{m+1}{m}$＜2，即m＞1時，解得x＜$\frac{m+1}{m}$或x＞2．
綜上，當0＜m＜1時，P={x|x＜2或x＞$\frac{m+1}{m}$}；當m=1時，P={x|x∈R，且x≠2}；當m＞1時，P={x|x＜$\frac{m+1}{m}$或x＞2}．
（III）依題意，當x∈（-3，2）時，不等式mx²-（3m+1）x+2（m+1）＞0恒成立．
當m=0時，原不等式化為-x+2＞0，即P={x|x＜2}，適合題意．
當m＞0時，由（II）可得0＜m≤1時，適合題意．
當m＜0時，因為$\frac{m+1}{m}$=1+$\frac{1}{m}＜2$，所以P={x|$\frac{m+1}{m}$＜x＜2}．
此時必有$\frac{m+1}{m}$≤-3成立，解得$-\frac{1}{4}≤m＜0$．
綜上，若{x|-3＜x＜2}⊆P，則m的取值范圍是[$-\frac{1}{4}，1$]．

點評 本題考查了一元二次不等式的解法，分類討論是關鍵，屬于中檔題．