Question

4+16a

1+2a2

的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,基本不等式

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：設(shè)f（a）=4×

1+4a

1+2a2

，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的方法．

解答： 解：

4+16a

1+2a2

=4×

1+4a

1+2a2

，
設(shè)f（a）=4×

1+4a

1+2a2

，
∴f′（a）=4×

4(1+2a2)-4a(1+4a)

(1+2a2)2

=4×

-4(2a2+a-1)

(1+2a2)2

，
令f′（a）=0，解得a=

1

2

，或a=-1，
當(dāng)f′（a）＞0時(shí)，a∈（-1，

1

2

）為單調(diào)增函數(shù)，
當(dāng)f′（a）＜0時(shí)，在（-∞，-1）∪（

1

2

，+∞）為單調(diào)減函數(shù)，
故當(dāng)a=

1

2

時(shí)取得極大值，
結(jié)合圖象可知當(dāng)a=

1

2

時(shí)取得大值，
∴f（

1

2

）=8，
故

4+16a

1+2a2

的最大值為8．
故答案為：8

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)與最值的問(wèn)題，屬于中檔題．