Question

4．直線l過點P（2，1），且傾斜角為$\frac{π}{4}$，曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）寫出直線l的參數(shù)方程的標準形式，并求曲線C的普通方程；
（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）直線l過點P（2，1），且傾斜角為$\frac{π}{4}$，可得參數(shù)方程；曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關系可得普通方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程可得：3t²+8$\sqrt{2}$t-4=0，可得|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，即可得出．

解答 解：（1）直線l過點P（2，1），且傾斜角為$\frac{π}{4}$，可得參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，
曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關系可得普通方程：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程可得：3t²+8$\sqrt{2}$t-4=0，
∴t₁+t₂=-$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，t₁t₂=$-\frac{4}{3}$．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{\frac{64×2}{9}-4×（-\frac{4}{3}）}$=$\frac{4\sqrt{11}}{3}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、參數(shù)方程的應用、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．