Question

16．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=BB₁=1，$A{B_1}=\sqrt{3}$．
（1）求證：平面AB₁C⊥平面B₁CB；
（2）求三棱錐A₁-AB₁C的體積．
（3）若點(diǎn)M為線段CC₁上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)AM+MB₁和最小時(shí)，求A₁到平面AB₁M的距離．

Answer 1

分析 （1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，可得BB₁⊥AB，BB₁⊥AC，利用AB₁=$\sqrt{A{B}^{2}+{B}_{1}{B}^{2}}$，解得AB=$\sqrt{2}$，因此AC²+BC²=AB²，可得AC⊥BC，即可證明：平面AB₁C⊥平面B₁CB．
（2）BC⊥AC，平面ACC₁⊥平面ABC，可得B₁C₁為三棱錐B₁-A₁AC的高．可得三棱錐A₁-AB₁C的體積=$\frac{1}{3}×{B}_{1}{C}_{1}$×${S}_{△{A}_{1}AC}$．
（3）如圖所示，把側(cè)面CBB₁C₁沿著CC₁展開與側(cè)面ACC₁A₁成一個(gè)平面，連接AB₁，與CC₁的交點(diǎn)取做M，即為CC₁的中點(diǎn)．設(shè)A₁到平面AB₁M的距離為h．利用$\frac{1}{3}h$${S}_{△A{B}_{1}M}$=$\frac{1}{3}×{B}_{1}{C}_{1}$×${S}_{△AM{A}_{1}}$，即可得出．

解答 （1）證明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，又AB?平面ABC，∴BB₁⊥AB，BB₁⊥AC，
∴AB₁=$\sqrt{A{B}^{2}+{B}_{1}{B}^{2}}$=$\sqrt{A{B}^{2}+1}$=$\sqrt{3}$，解得AB=$\sqrt{2}$．
∴AC²+BC²=AB²，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
又BC∩BB₁=B．
∴AC⊥平面B₁CB，又AC?平面AB₁C，
∴平面AB₁C⊥平面B₁CB．
（2）解：∵BC⊥AC，平面ACC₁⊥平面ABC，
∴BC⊥平面ACC₁，$BC\underset{∥}{=}{B}_{1}{C}_{1}$，即B₁C₁為三棱錐B₁-A₁AC的高．
∴三棱錐A₁-AB₁C的體積=$\frac{1}{3}×{B}_{1}{C}_{1}$×${S}_{△{A}_{1}AC}$=$\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
（3）解：如圖所示，把側(cè)面CBB₁C₁沿著CC₁展開與側(cè)面ACC₁A₁成一個(gè)平面，連接AB₁，與CC₁的交點(diǎn)取做M，即為CC₁的中點(diǎn)．
AM=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$=|B₁M|，AB₁=$\sqrt{A{B}^{2}+{B}_{1}{B}^{2}}$=2，
∴${S}_{△A{B}_{1}M}$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{（\frac{\sqrt{7}}{2}）^{2}-1}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
設(shè)A₁到平面AB₁M的距離為h．
則$\frac{1}{3}h$${S}_{△A{B}_{1}M}$=$\frac{1}{3}×{B}_{1}{C}_{1}$×${S}_{△AM{A}_{1}}$，
∴h=$\frac{1×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=1．

點(diǎn)評 本題考查了空間位置關(guān)系、空間距離、三棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．