Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{（x+1）（x+a）}{x}$為奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)是奇函數(shù)，由f（1）+f（-1）=0即可得到a的值；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵函數(shù) 為奇函數(shù)，
∴f（x）+f（-x）=0，
∴f（1）+f（-1）=0，
即2（1+a）+0=0，
∴a=-1．
（2）證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），
使得△x=x₂-x₁＞0，
則△y=f（x₂）-f（x₁）=$\frac{{{x}_{2}}^{2}-1}{{x}_{2}}$-$\frac{{{x}_{1}}^{2}-1}{{x}_{1}}$
=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}（{{x}_{2}-x}_{1}）+（{{x}_{2}-x}_{1}）}{{{x}_{1}x}_{2}}$
=$\frac{{（x}_{2}{-x}_{1}）{{（x}_{1}x}_{2}+1）}{{{x}_{1}x}_{2}}$，
∵x₂-x₁＞0，x₁x₂+1＞0，x₁x₂＞0，
∴△y＞0，
∴f（x）在（0，+∞）遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．