Question

1．已知函數(shù)f（x）=-x²+2kx-4，若對(duì)任意x∈R，f（x）-|x+1|-|x-1|≤0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是[-3，3]．

Answer 1

分析 由題意可得2kx≤|x+1|+|x-1|+x²+4恒成立，討論x=0，x＞0，x＜0，去掉絕對(duì)值，運(yùn)用基本不等式和對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，即可得到所求k的范圍．

解答 解：對(duì)任意x∈R，f（x）-|x+1|-|x-1|≤0恒成立，
即為2kx≤|x+1|+|x-1|+x²+4恒成立，
若x=0，則0≤1+1+0+4=6恒成立；
若x＞0，則2k≤x+$\frac{4}{x}$+|1+$\frac{1}{x}$|+|1-$\frac{1}{x}$|，
令g（x）=x+$\frac{4}{x}$+|1+$\frac{1}{x}$|+|1-$\frac{1}{x}$|，
當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）=x+$\frac{4}{x}$+1+$\frac{1}{x}$+|1-$\frac{1}{x}$|=2+（x+$\frac{4}{x}$）≥2+2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=6，
（當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，取得等號(hào)），
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）=x+$\frac{6}{x}$在（0，1）遞減，可得g（x）＞7，
則x＞0時(shí)，g（x）的最小值為6，
可得2k≤6，即k≤3；
若x＜0，則2k≥x+$\frac{4}{x}$+$\frac{|x-1|+|x+1|}{x}$，
令h（x）=x+$\frac{4}{x}$+$\frac{|x-1|+|x+1|}{x}$，
當(dāng)x＜-1時(shí)，h（x）=x+$\frac{4}{x}$-1+$\frac{1}{x}$-1-$\frac{1}{x}$=-2+（x+$\frac{4}{x}$）≤-2-2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=-6，
（當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時(shí)，取得等號(hào)），
當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，h（x）=x+$\frac{6}{x}$在[-1，0）遞減，可得g（x）≤-7，
則x＜0時(shí)，g（x）的最大值為-6，
可得2k≥-6，即k≥-3．
綜上可得，k的范圍是[-3，3]．
故答案為：[-3，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用分類(lèi)討論的思想方法，以及基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于難題．