Question

20．若方程$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=kx-2有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，-1）
• B． （-1，0）
• C． （0，4）
• D． （0，1）∪（1，4）

Answer 1

分析 先畫出函數(shù)y=kx-2，y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=圖象，利用方程$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=kx-2有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=kx-2，y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即可求出．

解答 解：y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x＞1或x＜-1}\\{-x-1，-1＜x＜1}\end{array}\right.$，
畫出函數(shù)y=kx-2，y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的圖象，
由圖象可以看出，y=kx-2圖象恒過A（0，-2），B（1，2），AB的斜率為4，
①當(dāng)0＜k＜1時(shí)，函數(shù)y=kx-2，y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
即方程$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=kx-2有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)y=kx-2，y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，
即方程$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=kx-2有1個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)1＜k＜4時(shí)，函數(shù)y=kx-2，y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
即方程$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=kx-2有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．
因此實(shí)數(shù)k的取值范圍是0＜k＜1或1＜k＜4．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解的條件，熟練掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法及把問題等價(jià)轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．