Question

13．設(shè)F₁、F₂分別是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過點F₂的直線交雙曲線右支于A、B兩點，若AF₂⊥AF₁，且|BF₂|=2|AF₂|，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{17}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{58}}}{4}$
• D． $\sqrt{13}$

Answer 1

分析 由題意，設(shè)|AF₂|=m，則|BF₂|=2m，利用勾股定理，求出a，m的關(guān)系，再利用勾股定理確定a，c的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，設(shè)|AF₂|=m，則|BF₂|=2m，
∴|AF₁|=2a+m，|BF₁|=2a+2m，
∵AF₂⊥AF₁，
∴（2a+2m）²=（2a+m）²+（3m）²，
∴m=$\frac{2}{3}$a，
∵（2c）²=（2a+m）²+（m）²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的離心率，考查勾股定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．