Question

7．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+ax-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂），求證：4f（x₁）-2f（x₂）≤1+3ln2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的極值的個數(shù)求出a的范圍，求出4f（x₁）-2f（x₂）的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x-lnx，f′（x）=-x+1-$\frac{1}{x}$，
則f（1）=$\frac{1}{2}$，f'（1）=-1，
所以所求切線方程為y-$\frac{1}{2}$=-（x-1），即2x+2y-3=0．
（Ⅱ）由f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+ax-lnx，得f′（x）=-x+a-$\frac{1}{x}$=-$\frac{{x}^{2}-ax+1}{x}$．
令g（x）=x²-ax+1，則f′（x）=-$\frac{g（x）}{x}$，
①當△=a²-4＜0，即-2＜a＜2時，g（x）＞0恒成立，則f′（x）＜0，
所以f）x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
②當△=0，即a=±2時，g（x）=x²±2x+1=（x±1）²≥0，則f′（x）≤0，
所以f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
③當△=a²-4＞0，即a＜-2或a＞2．
（i）當a＜-2時，g（x）=x²-ax+1是開口向上且過點（0，1）的拋物線，
對稱軸方程為x=$\frac{a}{2}$（$\frac{a}{2}$＜-1），則g（x）＞0恒成立，從而f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（ii）當a＞2時，g（x）是開口向上且過點（0，1）的拋物線，
對稱軸方程為x=$\frac{a}{2}$（$\frac{a}{2}$＞1），則函數(shù)g（x）有兩個零點：
${x_1}=\frac{{a-\sqrt{{a^2}-4}}}{2}，{x_2}=\frac{{a+\sqrt{{a^2}-4}}}{2}（顯然{x_1}＜{x_2}）$，列表如下：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)

綜上，當a≤2時，f（x）的減區(qū)間是（0，+∞）；
當a＞2時，f（x）的增區(qū)間是$（\frac{{a-\sqrt{{a^2}-4}}}{2}，\frac{{a+\sqrt{{a^2}-4}}}{2}）$，減區(qū)間是$（0，\frac{{a-\sqrt{{a^2}-4}}}{2}）$，$（\frac{{a+\sqrt{{a^2}-4}}}{2}，+∞）$．
（Ⅲ）證明：根據(jù)（Ⅱ），當a＞2時，f（x）有兩個極值點x₁，x₂，（x₁＜x₂），
則x₁，x₂是方程g（x）=0的兩個根，
從而$a{x_1}=x_1^2+1，a{x_2}=x_2^2+1$．
由韋達定理，得x₁x₂=1，x₁+x₂=a．
又a-2＞0，所以0＜x₁＜1＜x₂
$4f（{x_1}）-2f（{x_2}）=4（-\frac{1}{2}x_1^2+a{x_1}-ln{x_1}）-2（-\frac{1}{2}x_2^2+a{x_2}-ln{x_2}）$
=$-2x_1^2+4a{x_1}-4ln{x_1}+x_2^2-2a{x_2}+2ln{x_2}$
=$-2x_1^2+4（x_1^2+1）-4ln{x_1}+x_2^2-2（x_2^2+1）+2ln{x_2}$
=$2x_1^2-x_2^2+2ln\frac{x_2}{x_1^2}+2$
=$\frac{2}{x_2^2}-x_2^2+3lnx_2^2+2$．
令$t=x_2^2（t＞1）$，h（t）=$\frac{2}{t}$-t+3lnt+2，（t＞1），
則$h'（t）=-\frac{2}{t^2}-1+\frac{3}{t}=-\frac{（t-1）（t-2）}{t^2}$．
當1＜t＜2時，h'（t）＞0；當t＞2時，h′（t）＜0，
則h（t）在（1，2）上是增函數(shù)，在（2，+∞）上是減函數(shù)，
從而h（t）_max=h（2）=3ln2+1，
于是4f（x₁）-2f（x₂）≤1+3ln2．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性以及分類討論思想，考查轉(zhuǎn)化思想、換元思想，是一道綜合題．