Question

17．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn) x+y+$\sqrt{2}$=0相切．A、B是橢圓的左右頂點(diǎn)，直線(xiàn)l 過(guò)B點(diǎn)且與x軸垂直，如圖．
（I）求橢圓C的方程；
（II）若過(guò)點(diǎn)M（1，0）的直線(xiàn)與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，如果-$\frac{3}{5}$≤$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$≤-$\frac{2}{9}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且滿(mǎn)足|$\overrightarrow{PM}$|+|$\overrightarrow{MQ}$|=t$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{MQ}$，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用離心率以及以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)x+y+$\sqrt{2}$=0相切，流程方程求出a，b即可得到橢圓方程．
（Ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=-4∉[$-\frac{3}{5}$，$-\frac{2}{9}$]，不成立；直線(xiàn)的斜率不為0，設(shè)P（x₁，y₁）（y₁＞0），Q（x₂，y₂）（y₂＜0），直線(xiàn)的方程可設(shè)為：x=my+1，代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$消去x，通過(guò)韋達(dá)定理以及向量的數(shù)量積求出m的范圍，利用|$\overrightarrow{PM}$|+|$\overrightarrow{MQ}$|=t$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{MQ}$，得到m、t的關(guān)系，然后求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由題可得：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)x+y+$\sqrt{2}$=0相切，
∴$\frac{|0+0+\sqrt{2}|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=b，解得b=1．
再由 a²=b²+c²，可解得：a=2．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．…（5分）
（Ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=-4∉[$-\frac{3}{5}$，$-\frac{2}{9}$]，不成立；
∵直線(xiàn)的斜率不為0，設(shè)P（x₁，y₁）（y₁＞0），Q（x₂，y₂）（y₂＜0），
直線(xiàn)的方程可設(shè)為：x=my+1，
代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$得：（m²+4）y²+2my-3=0
∴y₁+y₂=$\frac{-2m}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-3}{{m}^{2}+4}$，
而x₁x₂=（my₁+1）（my₂+1）=$\frac{4-4{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{1-4{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$，
即-$\frac{3}{5}$≤$\frac{1-4{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$≤$-\frac{2}{9}$，解得$\frac{1}{2}$≤m²≤1；
∵|$\overrightarrow{PM}$|=$\sqrt{（{{x}_{1}-1）}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+1}-{y}_{1}$；$\overrightarrow{MQ}$=$\sqrt{（{x}_{2}-1）^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$=$-\sqrt{{m}^{2}+1}-{y}_{2}$；
又∵|$\overrightarrow{PM}$|+|$\overrightarrow{MQ}$|=t$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{MQ}$=t|$\overrightarrow{PM}$||$\overrightarrow{MQ}$|，
∴t=$\frac{1}{|\overrightarrow{MQ}|}+\frac{1}{|\overrightarrow{PM}|}$=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}（\frac{1}{{y}_{1}}-\frac{1}{{y}_{2}}）$=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}•\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{y}_{1}•{y}_{2}}$
=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$•$\frac{-\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}}{{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}•\frac{4\sqrt{{m}^{2}+3}}{3}$
=$\frac{4}{3}\sqrt{\frac{{m}^{2}+3}{{m}^{2}+1}}$
=$\frac{4}{3}\sqrt{1+\frac{2}{{m}^{2}+1}}$，
∴當(dāng)$\frac{1}{2}$≤m²≤1時(shí)，解得$\frac{4\sqrt{2}}{3}$≤t≤$\frac{4\sqrt{21}}{9}$．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，圓錐曲線(xiàn)的范圍問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．