Question

（1）證明：函數(shù)y=x³+x是R上的增函數(shù)；
（2）討論函數(shù)f（x）=

a+x

x

（a＞0）在定義域上的單調(diào)性并證明．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過求導(dǎo)得出導(dǎo)函數(shù)大于0，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）先求出函數(shù)的定義域，設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，通過討論自變量所在的區(qū)間，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 證明：（1）∵y′=3x²+1＞0，
∴函數(shù)y=x³+x是R上的增函數(shù)；
（2）f(x)=

a+x

x

=

a

x

+

x

，x∈(0，+∞)，
設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=(

a

x1

+

x1

)-(

a

x2

+

x2

)
=

a

x1

-

a

x2

+

x1

-

x2

=(

x2

-

x1

)(

a

x1x2

-1)，
∵0＜x₁＜x₂，∴

x2

＞

x1

，
當(dāng)x1，x2∈(0，

a

)時，

a

x1x2

＞1，
∴

x2

-

x1

＞0，

a

x1x2

-1＞0，
得f（x₁）＞f（x₂），
當(dāng)x1，x2∈(

a

，+∞)時，

a

x1x2

＜1，
∴

x2

-

x1

＞0，

a

x1x2

-1＜0，
得f（x₁）＜f（x₂），
綜上所述：f（x）在(0，

a

]上為減函數(shù)，在(

a

，+∞)上為增函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷及證明問題，是一道基礎(chǔ)題．