Question

3．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（x-2a）（a-x），x≤1\\ \sqrt{x}+a-1，x＞1.\end{array}\right.$
（1）若a=0，x∈[0，4]，則f（x）的值域是[-1，1]；
（2）若f（x）恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）在[-4，4]上的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出最值即可得出值域；
（2）對x討論，分別求出f（x）的零點(diǎn)，令其零點(diǎn)分別在對應(yīng)的定義域上即可．

解答 解：（1）a=0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≤1}\\{\sqrt{x}-1，x＞1}\end{array}\right.$，
∴f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，在（1，4]上單調(diào)遞增，
∵f（0）=0，f（1）=-1，f（4）=1，
∴f（x）在[0，1]上的值域是[-1，0]，在（1，4]上的值域是（0，1]，
∴f（x）在[0，4]上的值域是[-1，1]．
（2）當(dāng)x≤1時(shí)，令f（x）=0得x=2a或x=a，
當(dāng)x＞1時(shí)，令f（x）=0得$\sqrt{x}$=1-a，∴x=（1-a）²（1-a＞1），
∵f（x）恰好有三個(gè)解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a≤1}\\{a≤1}\\{2a≠a}\\{（1-a）^{2}＞1}\\{1-a＞1}\end{array}\right.$，解得a＜0．
故答案為：[-1，1]；（-∞，0）．

點(diǎn)評 本題考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)零點(diǎn)的計(jì)算，屬于中檔題．