Question

11．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx）（ω＞0）的圖象如圖所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若$g（x）=f（x）•cos（2x+\frac{π}{6}）$，求g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圖象求得A及周期，再由周期公式求得ω，則f（x）的解析式可求；
（Ⅱ）把f（x）代入$g（x）=f（x）•cos（2x+\frac{π}{6}）$，整理后由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）由圖象可知A=2，
設(shè)函數(shù)f（x）的周期為T(mén)，則$\frac{π}{4}-（-\frac{π}{2}）=\frac{3}{4}T$，
求得T=π，從而ω=2，
∴f（x）=2sin2x；
（Ⅱ）$g（x）=2sin2xcos（2x+\frac{π}{6}）$
=$\sqrt{3}sin2xcos2x-{sin^2}2x$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin4x+\frac{1}{2}cos4x-\frac{1}{2}$=$sin（4x+\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$，
∴$\frac{π}{2}+2kπ≤4x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，
即$\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}≤x≤\frac{π}{3}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z．
令k=0，得$\frac{π}{12}≤x≤\frac{π}{3}$，
∴g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的單調(diào)遞減區(qū)間為$[\frac{π}{12}，\frac{π}{3}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查由y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象求函數(shù)解析式，考查正弦型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．