Question

19．在（1+x+x²）ⁿ=D${\;}_{n}^{0}$+D${\;}_{n}^{1}$x+D${\;}_{n}^{2}$x²+…+D${\;}_{n}^{r}$x^r+…D${\;}_{n}^{2n-1}$x^2n-1+D${\;}_{n}^{2n}$x²ⁿ的展開(kāi)式中，把D${\;}_{n}^{0}$，D${\;}_{n}^{1}$，D${\;}_{n}^{2}$，…，D${\;}_{n}^{2n}$叫做三項(xiàng)式系數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)n=2時(shí)，寫出三項(xiàng)式系數(shù)D${\;}_{2}^{0}$，D${\;}_{2}^{1}$，D${\;}_{2}^{2}$，D${\;}_{2}^{3}$，D${\;}_{2}^{4}$的值；
（Ⅱ）二項(xiàng)式（a+b）ⁿ（n∈N）的展開(kāi)式中，系數(shù)可用楊輝三角形數(shù)陣表示，如圖：當(dāng)0≤n≤4，n∈N時(shí)，類似楊輝三角形數(shù)陣表，請(qǐng)列出三項(xiàng)式的n次系數(shù)列的數(shù)陣表；
（Ⅲ）求D${\;}_{2016}^{0}$C${\;}_{2016}^{0}$-D${\;}_{2016}^{1}$C${\;}_{2016}^{1}$+D${\;}_{2026}^{2}$C${\;}_{2016}^{2}$-D${\;}_{2016}^{3}$C${\;}_{2016}^{3}$+…D${\;}_{2016}^{2016}$C${\;}_{2016}^{2016}$的值（可用組合數(shù)作答）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)三項(xiàng)式（x²+x+1）²的展開(kāi)式，寫出對(duì)應(yīng)三項(xiàng)式的系數(shù)即可；
（Ⅱ）類比楊輝三角，畫出三項(xiàng)式的n（0≤n≤4）次系數(shù)的數(shù)陣表：
（Ⅲ）根據(jù)（1+x+x²）²⁰¹⁶•（x-1）²⁰¹⁶的展開(kāi)式中x²⁰¹⁶的系數(shù)，與二項(xiàng)式（x³-1）²⁰¹⁶展開(kāi)式中x²⁰¹⁶的系數(shù)相等，求出對(duì)應(yīng)代數(shù)式的值．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)椋▁²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1，
所以${D}_{2}^{0}$=1，${D}_{2}^{1}$=2，${D}_{2}^{2}$=3，${D}_{2}^{3}$=2，${D}_{2}^{4}$=1；…（3分）
（Ⅱ）類比楊輝三角，畫出三項(xiàng)式的n（0≤n≤4）次系數(shù)的數(shù)陣表如下：
 …（6分）
（Ⅲ）（1+x+x²）²⁰¹⁶•（x-1）²⁰¹⁶
=（${D}_{2016}^{0}$+${D}_{2016}^{1}$x+${D}_{2016}^{2}$x²+…+${D}_{2016}^{r}$x^r+…+${D}_{2016}^{4029}$x⁴⁰²⁹+${D}_{2016}^{4030}$x⁴⁰³⁰）
•（${C}_{2016}^{0}$x²⁰¹⁶-${C}_{2016}^{1}$x²⁰¹⁵+${C}_{2016}^{2}$x²⁰¹⁴-${C}_{2016}^{3}$x³+…+（-1）^r${C}_{2016}^{r}$x^2016-r+…-${C}_{2016}^{2015}$x+${C}_{2016}^{2016}$），
其中x²⁰¹⁶的系數(shù)為
${D}_{2016}^{0}$${C}_{2016}^{0}$-${D}_{2016}^{1}$${C}_{2016}^{1}$+${D}_{2016}^{2}$${C}_{2016}^{2}$-${D}_{2016}^{3}$${C}_{2016}^{3}$+…+${D}_{2016}^{2016}$${C}_{2016}^{2016}$，
又（1+x+x²）²⁰¹⁶•（x-1）²⁰¹⁶=（x³-1）²⁰¹⁶，
而二項(xiàng)式（x³-1）²⁰¹⁶的通項(xiàng)公式為
T_r+1=（-1）^r${C}_{2016}^{r}$（x³）^2016-r，
由3×（2016-r）=2016解得r=1344，
所以x²⁰¹⁶系數(shù)為${C}_{2016}^{1344}$=${C}_{2016}^{672}$；
由代數(shù)式恒成立，得
${D}_{2016}^{0}$${C}_{2016}^{0}$-${D}_{2016}^{1}$${C}_{2016}^{1}$+${D}_{2016}^{2}$${C}_{2016}^{2}$-${D}_{2016}^{3}$${C}_{2016}^{3}$+…+${D}_{2016}^{2016}$${C}_{2016}^{2016}$=${C}_{2016}^{1344}$=${C}_{2016}^{672}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了推理與證明的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問(wèn)題，考查了構(gòu)造函數(shù)解答問(wèn)題的能力，是綜合性題目．