Question

6．.已知函數(shù)f（x）=ae^x（a≠0），g（x）=x²
（Ⅰ）若曲線c₁：y=f（x）與曲線c₂：y=g（x）存在公切線，求a最大值．
（Ⅱ）當a=1時，F(xiàn)（x）=f（x）-bg（x）-cx-1，且F（2）=0，若F（x）在（0，2）內(nèi)有零點，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到x₂=2x₁-2，由a=$\frac{2（{2x}_{1}-2）}{{e}^{{x}_{1}}}$，設(shè)g（x）=$\frac{4x-4}{{e}^{x}}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的最大值即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為F′（x）=e^x-2bx-c在（0，2）內(nèi)至少有兩個零點，通過討論b的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定b的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)公切線l與c₁切于點（x₁，a${e}^{{x}_{1}}$）與c₂切于點（x₂，${{x}_{2}}^{2}$），
∵f′（x）=ae^x，g′（x）=2x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{ae}^{{x}_{1}}={2x}_{2}①}\\{\frac{{ae}^{{x}_{1}}{{-x}_{2}}^{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}={2x}_{2}②}\end{array}\right.$，由①知x₂≠0，
①代入②得：$\frac{{2x}_{2}{{-x}_{2}}^{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=2x₂，即x₂=2x₁-2，
由①知a=$\frac{2（{2x}_{1}-2）}{{e}^{{x}_{1}}}$，
設(shè)g（x）=$\frac{4x-4}{{e}^{x}}$，g′（x）=$\frac{8-4x}{{e}^{x}}$，
令g′（x）=0，得x=2；當x＜2時g′（x）＞0，g（x）遞增．
當x＞2時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
∴x=2時，g（x）_max=g（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$，∴a_max=$\frac{4}{{e}^{2}}$．
（Ⅱ）F（x）=f（x）-bg（x）-cx-1=e^x-bx²-cx-1，
∵F（2）=0=F（0），又F（x）在（0，2）內(nèi)有零點，
∴F（x）在（0，2）至少有兩個極值點，
即F′（x）=e^x-2bx-c在（0，2）內(nèi)至少有兩個零點．
∵F″（x）=e^x-2b，F(xiàn)（2）=e²-4b-2c-1=0，c=$\frac{{e}^{2}-4b-1}{2}$，
 ①當b≤$\frac{1}{2}$時，在（0，2）上，e^x＞e⁰=1≥2b，F(xiàn)″（x）＞0，
∴F″（x）在（0，2）上單調(diào)增，F(xiàn)′（x）沒有兩個零點．
②當b≥$\frac{{e}^{2}}{2}$時，在（0，2）上，e^x＜e²≤2b，∴F″（x）＜0，
∴F″（x）在（0，2）上單調(diào)減，F(xiàn)′（x）沒有兩個零點；
③當$\frac{1}{2}$＜b＜$\frac{{e}^{2}}{2}$時，令F″（x）=0，得x=ln2b，
因當x＞ln2b時，F(xiàn)″（x）＞0，x＜ln2b時，F(xiàn)″（x）＜0，
∴F″（x）在（0，ln2b）遞減，（ln2b，2）遞增，
所以x=ln2b時，∴F′（x）_最小=F′（ln2b）=4b-2bln2b-$\frac{{e}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$，
設(shè)G（b）=F′（ln2b）=4b-2bln2b-$\frac{{e}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$，
令G′（b）=2-2ln2b=0，
得2b=e，即b=$\frac{e}{2}$，當b＜$\frac{e}{2}$時G′（b）＞0；當b＞$\frac{e}{2}$時，G′（b）＜0，
當b=$\frac{e}{2}$時，G（b）_最大=G（$\frac{e}{2}$）=e+$\frac{1}{2}$-$\frac{{e}^{2}}{2}$＜0，
∴G（b）=f′（ln2b）＜0恒成立，
因F′（x）=e^x-2bx-c在（0，2）內(nèi)有兩個零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{F′（0）=1-c=1-\frac{{e}^{2}-4b-1}{2}＞0}\\{F′（ln2a）=2b-2bln2b-\frac{{e}^{2}-4b-1}{2}＜0}\\{F′（2）{=e}^{2}-4b-\frac{{e}^{2}-4b-1}{2}＞0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{{e}^{2}-3}{4}$＜b＜$\frac{{e}^{2}+1}{4}$，
綜上所述，b的取值范圍（$\frac{{e}^{2}-3}{4}$，$\frac{{e}^{2}+1}{4}$）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．