【題目】已知函數(shù)f(x)=elnx,g(x)=f(x)-(x+1).(e=2.718……)

(1)求函數(shù)g(x)的極大值;

(2)求證:1++…+>ln(n+1)(n∈N*).

【答案】見解析

【解析】(1)解 ∵g(x)=f(x)-(x+1)=lnx-(x+1),

∴g′(x)=-1(x>0).

令g′(x)>0,解得0<x<1;

令g′(x)<0,解得x>1.

∴函數(shù)g(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減,

∴g(x)極大值=g(1)=-2.

(2)證明 由(1)知x=1是函數(shù)g(x)的極大值點,也是最大值點,

∴g(x)≤g(1)=-2,即lnx-(x+1)≤-2lnx≤x-1(當且僅當x=1時等號成立),

令t=x-1,得t≥ln(t+1),t>-1,

取t= (n∈N*)時,

>ln=ln

∴1>ln2,>ln,>ln,…,>ln,

疊加得1++…+>ln(2···…·)=ln(n+1).

即1++…+>ln(n+1).

練習冊系列答案
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