【題目】已知函數(shù)f(x)=x3-3ax-1,a≠0.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若f(x)在x=-1處取得極值,直線y=m與y=f(x)的圖象有三個不同的交點,求m的取值范圍.

【答案】見解析

【解析】(1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),

當a<0時,對x∈R,有f′(x)>0,

∴當a<0時,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,+∞);

當a>0時,由f′(x)>0,解得x<-或x>,

由f′(x)<0,解得-<x<

∴當a>0時,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-),(,+∞);單調(diào)減區(qū)間為(-,).

(2)∵f(x)在x=-1處取得極值,

∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1.

∴f(x)=x3-3x-1,

f′(x)=3x2-3,

由f′(x)=0,

解得x1=-1,x2=1.

由(1)中f(x)的單調(diào)性可知,f(x)在x=-1處取得極大值f(-1)=1,在x=1處取得極小值f(1)=-3.

因為直線y=m與函數(shù)y=f(x)的圖象有三個不同的交點,

結(jié)合如圖所示f(x)的圖象可知:

m的取值范圍是(-3,1).

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(2)當,的兩個極值點為).

證明:;

,恰為的零點的最小值

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