Question

3．已知直線l：x-2y+2m-2=0．
（1）求過點(diǎn)（2，3）且與直線l垂直的直線的方程；
（2）若直線l與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積大于4，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由直線l：x-2y+2m-2=0的斜率為$\frac{1}{2}$，可得所求直線的斜率為-2，代入點(diǎn)斜式方程，可得答案；
（2）直線l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為（-2m+2，0），（0，m-1），則所圍成的三角形的面積為$\frac{1}{2}$×|-2m+2|×|m-1|，根據(jù)直線l與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積大于4，構(gòu)造不等式，解得答案．

解答 解：（1）∵直線l：x-2y+2m-2=0的斜率為$\frac{1}{2}$，
∴與直線l垂直的直線的斜率為-2，…（2分）
因?yàn)辄c(diǎn)（2，3）在該直線上，
所以所求直線方程為y-3=-2（x-2），
故所求的直線方程為2x+y-7=0． …（6分）
（2）直線l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為（-2m+2，0），（0，m-1），…（8分）
則所圍成的三角形的面積為$\frac{1}{2}$×|-2m+2|×|m-1|．…（10分）
由題意可知$\frac{1}{2}$×|-2m+2|×|m-1|＞4，化簡得（m-1）²＞4，…（12分）
解得m＞3或m＜-1，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-1）∪（3，+∞）．  …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線的點(diǎn)斜式方程，直線與直線的交點(diǎn)，解不等式，是直線與不等式的綜合應(yīng)用，難度中檔．