Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…，
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想出{a_n}的一個通項公式并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）由a₁=2，得a₂=a₁²-a₁+1=3
由a₂=3，得a₃=a₂²-2a₂+1=4
由a₃=4，得a₄=a₃²-3a₃+1=5
（1）用數(shù)學歸納法證明
①由a₁=2=1+1知n=1時，a_n=n+1成立
設(shè)n=k（k屬于正整數(shù)）時a_n=n+1成立，即a_k=k+1
則當n=k+1時，因為a_n+1=a_n²-na_n+1，
所以a_k+1=a_k²-k（k+1）+1=（k+1）²-k（k+1）+1=k²+2k+1-k²-k+1=k+2
綜上，a_n=n+1成立
分析：（1）由數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…及a₁=2，我們易得到a₂，a₃，a₄的值；
（2）由（1）可歸納數(shù)列中每一項的值與序號的關(guān)系，我們可以歸納推理出a_n的一個通項公式．使用數(shù)學歸納法，先證明n=1時，結(jié)論成立，再假設(shè)n=k時結(jié)論成立，進而論證n=k+1時，結(jié)論依然成立，從而得證．
點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．但歸納推理的結(jié)論不一定正確，我們要利用數(shù)學歸納法等方法對歸納的結(jié)論進行進一步的論證．