Question

17．在正三棱錐V-ABC中，底面邊長為3，三棱錐的高是3，D是VC的中點(diǎn)，則異面直線BD和VA所成角的余弦值是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{8}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{5}$

Answer 1

分析 建立空間坐標(biāo)系，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{VA}$的夾角即可．

解答 解：設(shè)底面ABC的中心為O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間坐標(biāo)系O-xyz，
∵棱錐的底面邊長為3，高為3，
∴A（0，-$\sqrt{3}$，0），B（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），C（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），V（0，0，3）．
∴D（-$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3}{2}$）．
∴$\overrightarrow{BD}$=（-$\frac{9}{4}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{VA}$=（0，-$\sqrt{3}$，-3）．
∴|$\overrightarrow{BD}$|=$\frac{\sqrt{30}}{2}$，|$\overrightarrow{VA}$|=2$\sqrt{3}$.$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{VA}$=-$\frac{15}{4}$．
∴cos＜$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{VA}$＞=$\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{VA}}{|\overrightarrow{BD}||\overrightarrow{VA}|}$=-$\frac{\sqrt{10}}{8}$．
∴異面直線BD和VA所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{10}}{8}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間角的計(jì)算，向量法是常用的解決空間角的方法之一．