Question

9．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+$\frac{ωπ}{2}$）（A＞0，ω＞0）在區(qū)間[-$\frac{3π}{4}$，-$\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞增，則ω的最大值是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間，根據(jù)集合關(guān)系列出不等式解出ω．

解答 解：令-$\frac{π}{2}+2kπ≤$$ωx+\frac{ωπ}{2}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，解得$-\frac{π}{2}$-$\frac{π}{2ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$≤x≤-$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{2ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$．
∵f（x）在區(qū)間[-$\frac{3π}{4}$，-$\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{π}{2}-\frac{π}{2ω}+\frac{2kπ}{ω}≤-\frac{3π}{4}}\\{-\frac{π}{2}+\frac{π}{2ω}+\frac{2kπ}{ω}≥-\frac{π}{6}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{ω≤2-8k}\\{ω≤\frac{3}{2}+6k}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)2-8k≤$\frac{3}{2}+6k$即k≥$\frac{1}{28}$時(shí)，ω≤2-8k，
∴當(dāng)k=1時(shí)，ω取得最大值-6．
當(dāng)2-8k＞$\frac{3}{2}+6k$即k＜$\frac{1}{28}$時(shí)，ω≤$\frac{3}{2}+6k$，
∴當(dāng)k=0時(shí)，ω取得最大值$\frac{3}{2}$．
綜上，ω的最大值為$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性，集合的包含關(guān)系，屬于中檔題．