Question

9．已知兩點F₁（-1，0）及F₂（1，0），點P在以F₁、F₂為焦點的橢圓C上，且|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|構成等差數(shù)列．
（I）求橢圓C的方程；
（II）設經(jīng)過F₂的直線m與曲線C交于P、Q兩點，若${\overrightarrow{QF}_2}=2\overrightarrow{{F_2}P}$，求直線m的斜率．

Answer 1

分析 （I）由題意可知：|F₁F₂|=2c=2，則c=1，2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|=2a，則a=2，b²=a²-c²=3，即可寫出橢圓的方程；
（II）設直線m方程為x=ty+1，代入橢圓方程，由韋達定理及向量數(shù)量積的坐標運算，即可求得t的值，求得直線m的斜率．

解答 解：（I）由題意設橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由|F₁F₂|=2c=2，則c=1，
|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|構成等差數(shù)列．即2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|=2a，則a=2，
b²=a²-c²=3，
橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；…（5分）
（ II）由題意知直線m的斜率不為0，且經(jīng)過右焦點（1，0），故設直線m方程為x=ty+1
代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得（3t²+4）y²+6yt-9=0
顯然△＞0，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）$則{y_1}+{y_2}=-\frac{6t}{{3{t^2}+4}}$…①${y_1}{y_2}=\frac{-9}{{3{t^2}+4}}$…②
由${\overrightarrow{QF}_2}=2\overrightarrow{{F_2}P}$，得y₂=-2y₁…③
解①②③得$t=±\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，
所以，直線m的斜率$k=\frac{1}{t}=±\frac{{\sqrt{5}}}{2}$…（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關系，韋達定理，向量數(shù)量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．