Question

17．已知函數(shù)f（x）=log_a$\frac{2-x}{b+x}$（0＜a＜1）為奇函數(shù)，當(dāng)x∈（-2，2a）時，函數(shù)f（x）的值域是（-∞，1），則實數(shù)a+b=$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，建立方程關(guān)系即可求出b，然后根據(jù)分式函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性建立條件關(guān)系即可求出a．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=log_a $\frac{2-x}{b+x}$（0＜a＜1）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，
∴l(xiāng)og_a $\frac{2-x}{b+x}$+log_a $\frac{2+x}{b-x}$=log_a $\frac{2-x}{b+x}$•$\frac{2+x}{b-x}$=0，
即 $\frac{2-x}{b+x}$•$\frac{2+x}{b-x}$=1，
∴4-x²=b²-x²，
即b²=4，解得b=±2，
當(dāng)b=-2時，函數(shù)f（x）=log_a $\frac{2-x}{-2+x}$=f（x）=log_a（-1）無意義，舍去．
當(dāng)b=2時，函數(shù)f（x）=log_a $\frac{2-x}{2+x}$為奇函數(shù)，滿足條件．
∵$\frac{2-x}{2+x}$=-1+$\frac{4}{2+x}$，在（-2，+∞）上單調(diào)遞減．
又0＜a＜1，
∴函數(shù)f（x）=log_a $\frac{2-x}{2+x}$在x∈（-2，2a）上單調(diào)遞增，
∵當(dāng)x∈（-2，2a）時，函數(shù)f（x）的值域是（-∞，1），
∴f（2a）=1，
即f（2a）=log_a $\frac{2-2a}{2+2a}$=1，
∴$\frac{2-2a}{2+2a}$=a，
即1-a=a+a²，
∴a²+2a-1=0，
解得a=-1±$\sqrt{2}$，
∵0＜a＜1，
∴a=$\sqrt{2}$-1，
∴a+b=$\sqrt{2}$-1+2=$\sqrt{2}$+1，
故答案為：$\sqrt{2}$+1．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的應(yīng)用，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．