Question

17．已知函數f（x）=log_a$\frac{2-x}{b+x}$（0＜a＜1）為奇函數，當x∈（-2，2a）時，函數f（x）的值域是（-∞，1），則實數a+b=$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 根據函數f（x）為奇函數，建立方程關系即可求出b，然后根據分式函數和對數函數的單調性建立條件關系即可求出a．

解答 解：∵函數f（x）=log_a $\frac{2-x}{b+x}$（0＜a＜1）為奇函數，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，
∴l(xiāng)og_a $\frac{2-x}{b+x}$+log_a $\frac{2+x}{b-x}$=log_a $\frac{2-x}{b+x}$•$\frac{2+x}{b-x}$=0，
即 $\frac{2-x}{b+x}$•$\frac{2+x}{b-x}$=1，
∴4-x²=b²-x²，
即b²=4，解得b=±2，
當b=-2時，函數f（x）=log_a $\frac{2-x}{-2+x}$=f（x）=log_a（-1）無意義，舍去．
當b=2時，函數f（x）=log_a $\frac{2-x}{2+x}$為奇函數，滿足條件．
∵$\frac{2-x}{2+x}$=-1+$\frac{4}{2+x}$，在（-2，+∞）上單調遞減．
又0＜a＜1，
∴函數f（x）=log_a $\frac{2-x}{2+x}$在x∈（-2，2a）上單調遞增，
∵當x∈（-2，2a）時，函數f（x）的值域是（-∞，1），
∴f（2a）=1，
即f（2a）=log_a $\frac{2-2a}{2+2a}$=1，
∴$\frac{2-2a}{2+2a}$=a，
即1-a=a+a²，
∴a²+2a-1=0，
解得a=-1±$\sqrt{2}$，
∵0＜a＜1，
∴a=$\sqrt{2}$-1，
∴a+b=$\sqrt{2}$-1+2=$\sqrt{2}$+1，
故答案為：$\sqrt{2}$+1．

點評 本題主要考查函數奇偶性的性質的應用，以及復合函數的單調性的應用，考查函數性質的綜合應用．