Question

如果實數(shù)x、y滿足（x+2）²+y²=3，求

y

x

的最大值、2y-x的最小值．

Answer 1

考點：圓的標準方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：

y

x

的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設

y

x

=k，即y=kx，求出直線y=kx與圓相切時，k的值，即可確定斜率k的最大值；2y-x可看作是直線y=

1

2

x+b在y軸上的截距，當直線y=

1

2

x+b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值．

解答： 解：原方程表示以（-2，0）為圓心，

3

為半徑的圓，

y

x

的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，
所以設

y

x

=k，即y=kx
當直線y=kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時

|-2k-0|

k2+1

=

3

，∴k=±

3

所以

y

x

的最大值為

3

；
2y-x可看作是直線y=

1

2

x+b在y軸上的截距，當直線y=

1

2

x+b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，
此時

|-1+b|

1 4 +1

=

3

，所以b=1±

15

2

．
所以2y-x的最小值為1-

15

2

．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查點到直線距離公式的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．