Question

6．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P（x，y）為函數(shù)y=1+lnx圖象上一點(diǎn)，記直線OP的斜率k=f（x）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間$（m，m+\frac{1}{2}）（m＞0）$上存在極值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）?x∈[1，+∞），使$f（x）≤\frac{t}{x+1}$，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得k=f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$（x＞0），求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得極值點(diǎn)，再由0＜m＜1＜m+$\frac{1}{2}$，解不等式可得所求范圍；
（2）運(yùn)用參數(shù)分離可得$t≥\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$，令$g（x）=\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}（x≥1）$，求出導(dǎo)數(shù)，再令h（x）=x-lnx（x≥1），求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到g（x）的單調(diào)性，可得g（x）≥g（1）=2，由t大于等于最小值即可．

解答 解：（1）由題意可得k=f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$（x＞0），
即有f′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0，
可得f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
故f（x）在x=1處取得極大值，
由函數(shù)f（x）在區(qū)間$（m，m+\frac{1}{2}）（m＞0）$上存在極值，
可得$\left\{\begin{array}{l}0＜m＜1\\ m+\frac{1}{2}＞1\end{array}\right.$，得$\frac{1}{2}＜m＜1$，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是$（\frac{1}{2}，1）$；
（2）由題意$f（x）≤\frac{t}{x+1}$，得$t≥\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$，
令$g（x）=\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}（x≥1）$，
則$g'（x）=\frac{x-lnx}{x^2}（x≥1）$，
令h（x）=x-lnx（x≥1），
則$h'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，
由x≥1，可得h'（x）≥0，
故h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
則h（x）≥h（1）=1＞0，從而g'（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
則g（x）≥g（1）=2，
故實(shí)數(shù)t的取值范圍是[2，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查存在性問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．