【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當x≥0時,f(x)=-x2+4x.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)在給定的坐標系中畫出函數(shù)f(x)在R上的圖象(不用列表);
(3)討論直線y=m(m∈R)與y=f(x)的圖象的交點個數(shù).
【答案】(1)f(x)=; (2)見解析;(3)見解析.
【解析】
本題第(1)題利用偶函數(shù)的性質(zhì)公式f(x)=f(﹣x)可得當x<0時的函數(shù)表達式,則即可得到函數(shù)f(x)的解析式;第(2)題可將第(1)題中函數(shù)f(x)的解析式化為頂點式,即可畫出f(x)的圖象;第(3)題根據(jù)第(2)題中f(x)大致圖象,對m分類討論即可得到交點個數(shù).
(1)由題意,
當x<0時,﹣x>0,f(﹣x)=﹣(﹣x)2+4(﹣x)=﹣x2﹣4x,
又∵函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),
∴當x<0時,f(x)=f(﹣x)=﹣x2﹣4x,
∴函數(shù)f(x)的解析式為:
f(x).
(2)由(1),知:
當x<0時,f(x)=﹣x2﹣4x=﹣(x+2)2+4;當x≥0時,f(x)=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4.
∴f(x),大致圖象如下:
(3)根據(jù)(2)中f(x)大致圖象,可知
①當m<0時,直線y=m與y=f(x)的圖象有2個交點;
②當m=0時,直線y=m與y=f(x)的圖象有3個交點;
③當0<m<4時,直線y=m與y=f(x)的圖象有4個交點;
④當m=4時,直線y=m與y=f(x)的圖象有2個交點;
⑤當m>4時,直線y=m與y=f(x)的圖象有沒有交點.
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【題目】已知雙曲線x2-=1.
(1)若一橢圓與該雙曲線共焦點,且有一交點P(2,3),求橢圓方程.
(2)設(1)中橢圓的左、右頂點分別為A、B,右焦點為F,直線l為橢圓的右準線,N為l上的一動點,且在x軸上方,直線AN與橢圓交于點M.若AM=MN,求∠AMB的余弦值;
(3)設過A、F、N三點的圓與y軸交于P、Q兩點,當線段PQ的中點為(0,9)時,求這個圓的方程.
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【題目】設函數(shù)是偶函數(shù).
(1)求不等式的解集;
(2)若不等式對任意實數(shù)成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)設函數(shù),若在上有零點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】設關(guān)于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的兩根分別為α、β(α<β),函數(shù)
(1)證明f(x)在區(qū)間(α,β)上是增函數(shù);
(2)當a為何值時,f(x)在區(qū)間[α,β]上的最大值與最小值之差最。
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【題目】為了迎接世博會,某旅游區(qū)提倡低碳生活,在景區(qū)提供自行車出租。該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用,管理這些自行車的費用是每日115元。根據(jù)經(jīng)驗,若每輛自行車的日租金不超過6元,則自行車可以全部租出;若超出6元,則每超過1元,租不出的自行車就增加3輛。為了便于結(jié)算,每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù),并且要求出租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用,用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后的所得).
(1)求函數(shù)的解析式及其定義域;
(2)試問當每輛自行車的日租金定為多少元時,才能使一日的凈收入最多?
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【題目】某家具公司制作木質(zhì)的椅子和書桌兩種家具,需要木工和漆工兩道工序,已知木工平均6個小時做一把椅子,10個小時做一張書桌,該公司每月木工最多有6000個工作時;漆工平均4個小時漆一把椅子,2個小時漆一張書桌,該公司每月漆工最多有2600個工作時又已知制作一把椅子和一張書桌的利潤分別是15元和20元,根據(jù)以上條件,怎樣安排每月的生產(chǎn),才能獲得最大的利潤?
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【題目】已知函數(shù)f(x)= lnx-x+,其中a>0.
(1)若f(x)在(0,+∞)上存在極值點,求a的取值范圍;
(2)設a∈(1,e],當x1∈(0,1),x2∈(1,+∞)時,記f(x2)-f(x1)的最大值為M(a).那么M(a)是否存在最大值?若存在,求出其最大值;若不存在,請說明理由.
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【題目】某研究機構(gòu)為了了解各年齡層對高考改革方案的關(guān)注程度,隨機選取了200名年齡在內(nèi)的市民進行了調(diào)查,并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖(分第一~五組區(qū)間分別為,,,,,).
(1)求選取的市民年齡在內(nèi)的人數(shù);
(2)若從第3,4組用分層抽樣的方法選取5名市民進行座談,再從中選取2人在座談會中作重點發(fā)言,求作重點發(fā)言的市民中至少有一人的年齡在內(nèi)的概率.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,橢圓C過點,焦點,圓O的直徑為.
(1)求橢圓C及圓O的方程;
(2)設直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P.
①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點,求點P的坐標;
②直線l與橢圓C交于兩點.若的面積為,求直線l的方程.
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