Question

4．在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₁，a₃，7a₃成等比數(shù)列，記數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和為S_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若S₁、S_m、S₁₆成等比數(shù)列，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意可得d的方程，解方程可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）列項可得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），可得S_n=$\frac{n}{3n+1}$，由等比數(shù)列的可得m的方程，解方程可得．

解答 解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₁=1，a₁，a₃，7a₃成等比數(shù)列，
∴a₃²=a₁•7a₃，∴a₃=7a₁，
∴1+2d=7，解得d=3，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=1+3（n-1）=3n-2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{n}{3n+1}$，
∴S₁=$\frac{1}{4}$，S_m=$\frac{m}{3m+1}$，S₁₆=$\frac{16}{49}$，
∵S₁、S_m、S₁₆成等比數(shù)列，
∴（$\frac{m}{3m+1}$）²=$\frac{1}{4}$×$\frac{16}{49}$，解得m=2

點評 本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列，涉及裂項相消法求數(shù)列的和，屬中檔題．