【題目】如圖,在四棱錐中,平面,底面是直角梯形,其中,,,為棱上的點(diǎn),且

1)求證:平面;

2)求二面角的余弦值;

3)設(shè)為棱上的點(diǎn)(不與,重合),且直線與平面所成角的正弦值為,求的值.

【答案】(1)見解析;(2);(3)

【解析】

1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,確定各點(diǎn)坐標(biāo),得到,,根據(jù)線面垂直的判定定理,即可證明.

2)由(1)可知,平面的法向量,確定平面的法向量,根據(jù),求解即可.

3)設(shè),確定,,根據(jù)直線與平面所成角的正弦值為,求解,即可.

1)因?yàn)?/span>平面,平面,平面

所以,

因?yàn)?/span>

則以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由已知可得,,,,.

所以,,.

因?yàn)?/span>.

所以,

,平面平面.

所以平面

2)設(shè)平面的法向量,由(1)可知,

設(shè)平面的法向量

因?yàn)?/span>,.

所以,即

不妨設(shè),得

所以二面角的余弦值為

3)設(shè),即.

所以,即.

因?yàn)橹本與平面所成角的正弦值為

所以

解得

練習(xí)冊系列答案
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【題目】為了解某地區(qū)初中學(xué)生的體質(zhì)健康情況,統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)8所學(xué)校學(xué)生的體質(zhì)健康數(shù)據(jù),按總分評定等級為優(yōu)秀,良好,及格,不及格.良好及其以上的比例之和超過40%的學(xué)校為先進(jìn)校.各等級學(xué)生人數(shù)占該校學(xué)生總?cè)藬?shù)的比例如下表:

比例 學(xué)校

等級

學(xué)校A

學(xué)校B

學(xué)校C

學(xué)校D

學(xué)校E

學(xué)校F

學(xué)校G

學(xué)校H

優(yōu)秀

8%

3%

2%

9%

1%

22%

2%

3%

良好

37%

50%

23%

30%

45%

46%

37%

35%

及格

22%

30%

33%

26%

22%

17%

23%

38%

不及格

33%

17%

42%

35%

32%

15%

38%

24%

(1)從8所學(xué)校中隨機(jī)選出一所學(xué)校,求該校為先進(jìn)校的概率;

(2)從8所學(xué)校中隨機(jī)選出兩所學(xué)校,記這兩所學(xué)校中不及格比例低于30%的學(xué)校個數(shù)為X,求X的分布列;

(3)設(shè)8所學(xué)校優(yōu)秀比例的方差為S12,良好及其以下比例之和的方差為S22,比較S12S22的大小.(只寫出結(jié)果)

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【題目】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n(n+1)(n∈N*).

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)若數(shù)列{bn}滿足:,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;

(3)令(n∈N*),求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.

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【題目】有次水下考古活動中,潛水員需潛入水深為30米的水底進(jìn)行作業(yè),其用氧量包含以下三個方面:①下潛時(shí),平均速度為每分鐘米,每分鐘的用氧量為升;②水底作業(yè)需要10分鐘,每分鐘的用氧量為0.3升;③返回水面時(shí),速度為每分鐘米,每分鐘用氧量為0.2升;設(shè)潛水員在此次考古活動中的總用氧量為升;

(1)將表示為的函數(shù);

(2)若,求總用氧量的取值范圍.

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【題目】某學(xué)校為了學(xué)生的健康,對課間操活動做了如下規(guī)定:課間操時(shí)間若有霧霾則停止課間操,若無霧霾則組織課間操.預(yù)報(bào)得知,在未來一周從周一到周五的課間操時(shí)間出現(xiàn)霧霾的概率是:前3天均為,后2天均為,且每一天出現(xiàn)霧霾與否是相互獨(dú)立的.

(1)求未來5天至少一天停止課間操的概率;

(2)求未來5天組織課間操的天數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】對于定義在上的函數(shù),若存在正常數(shù)、,使得對一切均成立,則稱是“控制增長函數(shù)”,在以下四個函數(shù)中:①;②;③;④.是“控制增長函數(shù)”的有(

A.②③B.③④C.②③④D.①②④

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)求直方圖中的值;

)從學(xué)校全體高一學(xué)生中任選名學(xué)生,這名學(xué)生中自主安排學(xué)習(xí)時(shí)間少于分鐘的人數(shù)記為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(以直方圖中的頻率作為概率).

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A.B.

C.D.

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