Question

11．過正四面體ABCD的高DH作一平面，與正四面體的三個側(cè)面相交得到三條直線DX，DY，DZ，這三條直線與正四面體的底面所成角分別為$\alpha$，$\beta$，$\gamma$．求證：tan²α+tan²β+tan²γ=12．

Answer 1

分析 由已知得tan²α+tan²β+tan²γ=$\frac{D{H}^{2}}{X{H}^{2}}+\frac{D{H}^{2}}{Y{H}^{2}}+\frac{D{H}^{2}}{Z{H}^{2}}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{X{H}^{2}}+\frac{1}{Y{H}^{2}}+\frac{1}{Z{H}^{2}}$），以BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OC為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，利用參數(shù)方程能求出$\frac{1}{X{H}^{2}}+\frac{1}{Y{H}^{2}}+\frac{1}{Z{H}^{2}}$=18，由此能證明tan²α+tan²β+tan²γ=12．

解答 證明：設(shè)正四面體的邊長為1，高為DH，過DH的平面交正四面體的三個側(cè)面于DX，DY，DZ，
則∠DHX=α，∠DYH=β，∠DZH=γ，DH²=$\frac{2}{3}$，
∴tan²α+tan²β+tan²γ=$\frac{D{H}^{2}}{X{H}^{2}}+\frac{D{H}^{2}}{Y{H}^{2}}+\frac{D{H}^{2}}{Z{H}^{2}}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{X{H}^{2}}+\frac{1}{Y{H}^{2}}+\frac{1}{Z{H}^{2}}$），
以BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OC為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)H（0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
直線HX的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tanθ}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{6}+tsinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)），
直線AB的方程為y=$\sqrt{3}$（x+$\frac{1}{2}$），把HX的方程代入，得$\frac{\sqrt{3}}{6}+tsinθ=\sqrt{3}（tsinθ+\frac{1}{2}）$，
∴$\frac{1}{{t}_{1}}=\sqrt{3}（sinθ-\sqrt{3}cosθ）$，
直線AC的方程為$y=-\sqrt{3}（x-\frac{1}{2}）$，把HX的方程代入，得$\frac{\sqrt{3}}{6}+tsinθ=-\sqrt{3}（tsinθ-\frac{1}{2}）$，
∴$\frac{1}{{t}_{2}}=\sqrt{3}（sinθ+\sqrt{3}cosθ）$，
令y=0，得$\frac{1}{{t}_{3}}$=-2$\sqrt{3}$sinθ，
∴$\frac{1}{X{H}^{2}}+\frac{1}{Y{H}^{2}}+\frac{1}{Z{H}^{2}}$=$\frac{1}{{{t}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{t}_{2}}^{2}}+\frac{1}{{{t}_{3}}^{2}}$=18，
∴tan²α+tan²β+tan²γ=12．

點(diǎn)評 本題考查二面角的正切的平方和等于12的證明，綜合性強(qiáng)，難度大，對數(shù)學(xué)思維能力的要求較高，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．