Question

6．已知△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2sinAsinC=sinBsinA+sinBsinC．
（1）求角B的范圍；
（2）求f（B）=2$\sqrt{3}$cos²$\frac{B}{2}$+2sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$-3的最值．

Answer 1

分析 （1）由2sinAsinC=sinAsinB+sinBsinC，利用正弦定理可得2ac=ab+bc，由余弦定理可得cosB=$\frac{c}{2a}+\frac{a}{2c}-\frac{1}{\frac{c}{2a}+\frac{a}{2c}+1}$，再利用基本不等式可得cosB≥1-$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，利用y=cosx在（0，π）上單調(diào)遞減，可得B的取值范圍．
（2）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（B）=2sin（B+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}-3$，結(jié)合B的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 解：（1）∵2sinAsinC=sinAsinB+sinBsinC，利用正弦定理可得2ac=ab+bc，
∴b=$\frac{2ac}{a+c}$．
由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-（\frac{2ac}{a+c}）^{2}}{2ac}$=$\frac{c}{2a}+\frac{a}{2c}-\frac{1}{\frac{c}{2a}+\frac{a}{2c}+1}$，
∵$\frac{c}{2a}+\frac{a}{2c}$≥2$\sqrt{\frac{c}{2a}•\frac{a}{2c}}$=1，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)．
∴cosB≥1-$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
又∵y=cosx在（0，π）上單調(diào)遞減，
∴B的取值范圍是（0，$\frac{π}{3}$]．
（2）∵f（B）=2$\sqrt{3}$cos²$\frac{B}{2}$+2sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$-3
=2$\sqrt{3}$×$\frac{1+cosB}{2}$+sinB-3
=2（$\frac{1}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB）+$\sqrt{3}-3$
=2sin（B+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}-3$，
又∵B的取值范圍是（0，$\frac{π}{3}$]．
∴B+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，sin（B+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴f（B）=2sin（B+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}-3$∈[2$\sqrt{3}-3$，$\sqrt{3}-1$]，
故f（B）的最大值為$\sqrt{3}-1$，最小值為2$\sqrt{3}-3$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了正弦定理和余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、倍角公式、三角函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．