Question

3．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{a}{x}$-（a+1）lnx（a∈R）．
（Ⅰ）當a=$\frac{1}{2}$時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使f（x）≤x恒成立，若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定函數(shù)f（x）的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負確定取得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）f（x）≤x恒成立可轉(zhuǎn)化為a+（a+1）xlnx≥0恒成立，構(gòu)造函數(shù)φ（x）=a+（a+1）xlnx，則只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可，求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，即可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{（x-a）（x-1）}{{x}^{2}}$，
當a=$\frac{1}{2}$時，由f′（x）＞0得，0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞1，由f′（x）＜0，得$\frac{1}{2}$＜x＜1，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞），單調(diào)減區(qū)（$\frac{1}{2}$，1）．
（Ⅱ）f（x）≤x恒成立可轉(zhuǎn)化為a+（a+1）xlnx≥0恒成立，
令φ（x）=a+（a+1）xlnx，則只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可，
求導(dǎo)函數(shù)可得：φ′（x）=（a+1）（1+lnx）
當a+1＞0時，在x∈（0，$\frac{1}{e}$）時，φ′（x）＜0，在x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時，φ′（x）＞0
∴φ（x）的最小值為φ（$\frac{1}{e}$），由φ（$\frac{1}{e}$）≥0得a≥$\frac{1}{e-1}$，
故當a≥$\frac{1}{e-1}$時f（x）≤x恒成立，
當a+1=0時，φ（x）=-1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，
當a+1＜0時，取x=1，有φ（1）=a＜-1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，
綜上所述當a≥$\frac{1}{e-1}$時，使f（x）≤x恒成立．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查恒成立問題，同時考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．