Question

8．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，F(xiàn)是線段BC的中點
（1）證明：PF⊥FD；
（2）若PB與平面ABCD所成的角為45^o，求點A到平面PFD 距離．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，AB，AD，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角系，利用向量法能證明PF⊥PD．
（2）求出平面PDF的法向量，利用向量法能求出點A到平面PFD 距離．

解答 證明：（1）∵四棱錐P-ABCD中，
底面ABCD是矩形，
PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，
F是線段BC的中點，
∴以A為原點，AB，AD，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角系，
設PB=t，則P（0，0，t），
F（1，1，0），D（0，2，0），
$\overrightarrow{PF}$=（1，1，-t），
$\overrightarrow{FD}$=（-1，1，0），
∴$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{FD}$=-1+1+0=0，
∴PF⊥PD．
解：（2）∵PB與平面ABCD所成的角為45^o，
∴PA=AB=1，
∴A（0，0，0），P（0，0，1），F(xiàn)（1，1，0），D（0，2，0），
$\overrightarrow{PF}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-1），$\overrightarrow{PA}$=（0，0，-1），
設平面PDF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PF}=x+y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=2y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
∴點A到平面PFD 距離：
d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查線面距離的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查等價轉化思想、數(shù)形結合思想，考查空間想象能力，是中檔題．