Question

13．已知向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sin\frac{x}{4}，1），\overrightarrow n=（cos\frac{x}{4}，cos_{\;}^2\frac{x}{4}）．記f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（1）若f（α）=$\frac{3}{2}，求cos（\frac{2π}{3}-α）$的值；
（2）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且滿足（2a-c）cos B=bcos C，若f（A）=$\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）由已知利用平面向量數(shù)量積的運算可得函數(shù)解析式f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，由f（α）=$\frac{3}{2}$，可得α=4kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，代入即可計算得解cos（$\frac{2π}{3}$-α）的值．
（2）利用正弦定理化簡已知等式，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求cosB=$\frac{1}{2}$，進而可求B=$\frac{π}{3}$，由f（A）=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，可求A的值，即可判定三角形形狀．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵由已知可得：f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+cos²$\frac{x}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，…2分
∵f（α）=$\frac{3}{2}$，可得：sin（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴α=4kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∴cos（$\frac{2π}{3}$-α）=cos（$\frac{2π}{3}$-4kπ-$\frac{2π}{3}$）=1，…6分
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，…8分
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，可得：cosB=$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$，
∵f（A）=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，…10分
∴sin（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，可得：$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
∴解得：A=$\frac{π}{3}$或π，
又∵0$＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC為等邊三角形…12分

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．