Question

13．已知函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1）（其中a＞0，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若關(guān)于x的方程f（x）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{a}$x+a有唯一實(shí)根，求（1+lna）a²的值；
（Ⅱ）若過(guò)原點(diǎn)作曲線y=f（x）的切線l與直線y=-ex+1垂直，證明：$\frac{e-1}{e}$＜a＜$\frac{{e}^{2}-1}{e}$；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f（x+1）+e^x，當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)h（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²-（a-$\frac{1}{a}$）x，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值=-lna+$\frac{1}{{2a}^{2}}$-1=0；從而求出代數(shù)式的值；
（Ⅱ）求出切線l的方程，得到a═$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$，且lnx₁-1+$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$=0，令m（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{e}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可；
（Ⅲ）先求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性從而得到答案．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{a}$x+a，
∴l(xiāng)nx-$\frac{1}{2}$x²-（a-$\frac{1}{a}$）x=0，
設(shè)h（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²-（a-$\frac{1}{a}$）x，則h′（x）=-$\frac{（x+a）（x-\frac{1}{a}）}{x}$，
a＞0時(shí)，h（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞減，
則h（x）_max=h（$\frac{1}{a}$）=-lna+$\frac{1}{{2a}^{2}}$-1，
∵h(yuǎn)（x）=0有唯一實(shí)根，
∴x₀=$\frac{1}{a}$且h（x）_max=h（$\frac{1}{a}$）=-lna+$\frac{1}{{2a}^{2}}$-1=0；
故1+lna=$\frac{1}{{2a}^{2}}$，∴（1+lna）a²=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）證明：∵過(guò)原點(diǎn)所作曲線y=f（x）的切線l與直線y=-ex+1垂直，
∴切線l的斜率為k=$\frac{1}{e}$，方程是y=$\frac{1}{e}$x，
設(shè)l與y=f（x）的切點(diǎn)為（x₁，y₁），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′{（x}_{1}）=\frac{1}{e}}\\{{y}_{1}=l{nx}_{1}-a{（x}_{1}-1）}\\{{y}_{1}={\frac{1}{e}x}_{1}}\end{array}\right.$，
∴a=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$，且lnx₁-1+$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$=0，
令m（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{e}$，則m′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
∴m（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
若x₁∈（0，1），∵m（$\frac{1}{e}$）=-2+e-$\frac{1}{e}$＞0，m（1）=-$\frac{1}{e}$＜0，
∴x₁∈（$\frac{1}{e}$，1），
而a=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$在x₁∈（$\frac{1}{e}$，1）遞減，
∴$\frac{e-1}{e}$＜a＜$\frac{{e}^{2}-1}{e}$，
若x₁∈（1，+∞），∵m（x）在（1，+∞）遞增，且m（e）=0，則x₁=e，
∴a=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$=0（舍），
綜上：$\frac{e-1}{e}$＜a＜$\frac{{e}^{2}-1}{e}$；
（Ⅲ）∵g（x）=f（x+1）+e^x=ln（x+1）-ax+e^x，
∴g′（x）=$\frac{1}{x+1}$-a+e^x，g″（x）=$\frac{{{e}^{x}（x+1）}^{2}-1}{{（x+1）}^{2}}$≥0，
①0＜a≤2時(shí)，∵g′（x）在[0，+∞）遞增，
∴g′（x）≥g′（0）=2-a≥0，
∴g（x）在[0，+∞）遞增，g（x）≥g（0）=1恒成立，符合題意，
②a＞2時(shí)，∵g′（x）在[0，+∞）遞增，g′（0）=2-a＜0，
則存在x₀（0，+∞），使得g′（x₀）=0，
∴g（x）在（0，x₀）遞減，在（x₀，+∞）遞增，
又x∈（0，x₀）時(shí)，g（x）＜g（0）=1，
∴g（x）≥1不恒成立，不合題意，
綜上，所求實(shí)數(shù)a的范圍是（0，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查曲線的切線方程問(wèn)題，是一道綜合題．