Question

對于函數(shù)f（x）=ax³，（a≠0）有以下說法：
①x=0是f（x）的極值點(diǎn)．
②當(dāng)a＜0時，f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)．
③f（x）的圖象與（1，f（1））處的切線必相交于另一點(diǎn)．
④若a＞0且x≠0則f（x）+f（

1

x

）有最小值是2a．
其中說法正確的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：對于①②，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的符號分析原函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷原函數(shù)極值的情況；
對于③，求出f（x）的圖象在（1，f（1））處的切線方程，和原函數(shù)聯(lián)立后求解x的值，由解得的x的值判斷命題③的真假；
對于④，由基本不等式求出函數(shù)最值，從而判斷④的真假．

解答： 解：由f（x）=ax³，（a≠0），得f′（x）=3ax²．
①當(dāng)a＞0時，f′（x）≥0，當(dāng)a＜0時，f′（x）≤0，
∴函數(shù)f（x）是定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，f（x）無極值點(diǎn)．命題①錯誤；
②當(dāng)a＜0時，f′（x）≤0，∴f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，命題②正確；
③f′（1）=3a，f（1）=a，
∴f（x）的圖象在（1，f（1））處的切線方程為：y-a=3a（x-1），即y=3ax-2a．
代入f（x）=ax³，得ax³-3ax+2a=0，即x³-3x+2=0，解得：x=-2或x=1．
∴f（x）的圖象與（1，f（1））處的切線必相交于另一點(diǎn)（-2，-8a），∴命題③正確．
④a＞0且x＜0時，f（x）+f（

1

x

）=a（x³+

1

x3

）=-a[(-x)3+

1

(-x)3

]≤-2a，∴命題④錯誤；
故答案為：②③．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了利用基本不等式求最值，解答的關(guān)鍵是掌握原函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)符號間的關(guān)系，是中檔題．