Question

3．設(shè)方程log₂x-（$\frac{1}{2}$）^x=0，log${\;}_{\frac{1}{2}}$x-（$\frac{1}{2}$）^x=0的根分別為x₁、x₂，則（　�。�

• A． x₁x₂=1
• B． 0＜x₁x₂＜1
• C． 1＜x₁x₂＜2
• D． x₁x₂≥2

Answer 1

分析 由方程log₂x-（$\frac{1}{2}$）^x=0得log₂x=（$\frac{1}{2}$）^x，log${\;}_{\frac{1}{2}}$x-（$\frac{1}{2}$）^x=0得：log${\;}_{\frac{1}{2}}$x=（$\frac{1}{2}$）^x，分別畫出左右兩邊函數(shù)的圖象，即可得出結(jié)論．

解答 解：由方程log₂x-（$\frac{1}{2}$）^x=0得log₂x=（$\frac{1}{2}$）^x，
log${\;}_{\frac{1}{2}}$x-（$\frac{1}{2}$）^x=0得：log${\;}_{\frac{1}{2}}$x=（$\frac{1}{2}$）^x，
分別畫出左右兩邊函數(shù)的圖象，如圖所示．
由指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象知：x₁＞1＞x₂＞0，
于是有l(wèi)og₂x₁=$（\frac{1}{2}）^{{x}_{1}}$＜$（\frac{1}{2}）^{{x}_{2}}$＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$x₂，得x₁＜$\frac{1}{{x}_{2}}$，所以0＜x₁x₂＜1
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．