Question

13．已知冪函數(shù)y=x${\;}^{{n}^{2}-2n-3}$（n∈Z）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上為減函數(shù)．
（1）求解析式；
（2）討論h（x）=a$\sqrt{f（x）}$-$\frac{xf（x）}$（a，b∈k）的奇偶性；
（3）求滿足（t+1）${\;}^{-\frac{n}{3}}$＜（3-2t）${\;}^{-\frac{n}{3}}$的t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意和冪函數(shù)的性質，列出關于n的不等式，求出n的值代入解析式驗證奇偶性；
（2）把f（x）的解析式代入F（x），然后分別討論a≠0且b≠0時，a=0且b≠0時，a≠0且b=0時，a=b=0時，函數(shù)的奇偶性；
（3）把n=1代入函數(shù)解析式，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列出不等式組，求出t的取值范圍．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：n²-2n-3＜0，解得-1＜n＜3，
又n∈Z，則n=0或n=1或n=2，
當n=0時，n²-2n-3=-3，當n=1時，n²-2n-3=-4，當n=2時，n²-2n-3=-3，
∵冪函數(shù)y=x${\;}^{{n}^{2}-2n-3}$為偶函數(shù)，
∴則n=1，即y=x^-4（x≠0）；
（2）由（1）得，h（x）=a$\sqrt{f（x）}$-$\frac{xf（x）}$=$\frac{a}{{x}^{2}}-b{x}^{3}$（x≠0），
∴當a=0，b≠0時，F(xiàn)（x）為奇函數(shù)，
當a≠0，b=0，時，F(xiàn)（x）為偶函數(shù)，
當a=b=0時，F(xiàn)（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，
當a≠0且b≠0時，F(xiàn)（x）為非奇非偶函數(shù)；
（3）由（1）得，n=1，
則（t+1）${\;}^{-\frac{n}{3}}$＜（3-2t）${\;}^{-\frac{n}{3}}$為$（t+1）^{-\frac{1}{3}}＜（3-2t）^{-\frac{1}{3}}$，
∵函數(shù)$y={x}^{-\frac{1}{3}}$在（-∞，0）、（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜3-2t＜t+1}\\{3-2t≠0}\\{t+1≠0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{3-2t＜t+1＜0}\\{3-2t≠0}\\{t+1≠0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{t+1＜0＜3-2t}\\{3-2t≠0}\\{t+1≠0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{2}{3}＜t＜\frac{3}{2}$或t＜-1，
∴t的取值范圍是{t|$\frac{2}{3}＜t＜\frac{3}{2}$或t＜-1}．

點評 本題考查了冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，以及分類討論思想的應用，注意函數(shù)的定義域，根據(jù)冪函數(shù)的性質確定函數(shù)的解析式是解決本題的關鍵．