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【題目】根據下列關系式,算出數列的前4項,然后猜想它的通項,并用數學歸納法證明你的猜想.

1;

2;

3.

【答案】1,證明見解析; 2,,證明見解析; 3,,證明見解析.

【解析】

分別求出數列的前幾項,猜測數列的通項公式,利用數學歸納法,作出證明即可.

1)由,

,則;令,則;令,則,

由此可猜測數列的通項公式為:,

證明如下:

①當時,,顯然成立;

②假設時,結論成立,即,

則當時,,

即當時也成立,

由①②可得都成,即,.

2)由

時,,即,即;

時,,即,即;

時,,即,即

猜測數列的通項公式為:,

證明如下:

①當時,,顯然成立;

②假設時,結論成立,即

則當時,,且,

兩式相減可得,即,

整理得,

即當時也成立,

由①②可得都成,即,.

3)由,

,可得,即,因為,則;

,可得,即,解得;

,可得,即,解得

,可得,即,解得;

猜測數列的通項公式為:.

證明如下:

①當時,,命題成立;

②假設時,結論成立,即,

則當時,

,

所以,解得

即當時也成立,

由①②可得都成,即,.

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