【題目】已知函數(shù)，.

（1）求的極值；

（2）若方程有三個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，極小值；當(dāng)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，極大值；（2）

【解析】

（1）求得的定義域和導(dǎo)函數(shù)，對(duì)分成三種情況進(jìn)行分類討論 的極值.

（2）構(gòu)造函數(shù)，通過的導(dǎo)函數(shù)研究的零點(diǎn)，對(duì)分成進(jìn)行分類討論，結(jié)合有三個(gè)零點(diǎn)，求得的取值范圍.

（1）的定義域?yàn)?/span>，

，

當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，所以在處取得極小值，

當(dāng)時(shí)，，所以無極值，

當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，所以在處取得極大值.

（2）設(shè)，即，

.

①若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，至多有兩個(gè)零點(diǎn).

②若，則，（僅）.單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn).

③若，則，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，要使有三個(gè)零點(diǎn)，必須有成立.

由，得，這與矛盾，所以不可能有三個(gè)零點(diǎn).

④若，則.當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，要使有三個(gè)零點(diǎn)，必須有成立，

由，得，由及，得，

.

并且，當(dāng)時(shí)，，，

，.

綜上，使有三個(gè)零點(diǎn)的的取值范圍為.

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【題目】根據(jù)下列關(guān)系式，算出數(shù)列的前4項(xiàng)，然后猜想它的通項(xiàng)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.

（1）；

（2）；

（3）.

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【題目】定義：如果數(shù)列的任意連續(xù)三項(xiàng)均能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長，則稱為“三角形”數(shù)列，對(duì)于“三角形”數(shù)列，如果函數(shù)使得仍為一個(gè)“三角形”數(shù)列，則稱是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”，.

（1）已知是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，若是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”，求的取值范圍；

（2）已知數(shù)列的首項(xiàng)為2010，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，證明是“三角形”數(shù)列；

（3）根據(jù)“保三角形函數(shù)的定義，對(duì)函數(shù)，和數(shù)列1，提出一個(gè)正確的命題，并說明理由.

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【題目】在直角坐標(biāo)平面上的一列點(diǎn)，簡記為．若由構(gòu)成的數(shù)列滿足，其中為方向與軸正方向相同的單位向量，則稱為點(diǎn)列．

（1）判斷，是否為點(diǎn)列，并說明理由；

（2）若為點(diǎn)列，且點(diǎn)在點(diǎn)的右上方．任取其中連續(xù)三點(diǎn)，判斷的形狀（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形），并予以證明；

（3）若為點(diǎn)列，正整數(shù)，滿足，求證：．

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【題目】如圖，已知四棱錐中，底面為菱形，平面， 為上一點(diǎn)，為菱形對(duì)角線的交點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）若，四棱錐的體積是四棱錐的體積的，求二面角的正切值.

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【題目】已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為.

（1）求拋物線M的方程；

（2）過點(diǎn)F斜率為k的直線l與M相交于C，D兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與M相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)分別為線段和的中點(diǎn).

①試用k表示點(diǎn)的坐標(biāo)；

②若以線段為直徑的圓過點(diǎn)C，求直線l的方程.

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【題目】正四棱錐P﹣ABCD的底面邊長為2,側(cè)棱長為2,過點(diǎn)A作一個(gè)與側(cè)棱PC垂直的平面α,則平面α被此正四棱錐所截的截面面積為_____,平面α將此正四棱錐分成的兩部分體積的比值為_____.

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【題目】今年2月份，我國武漢地區(qū)爆發(fā)了新冠肺炎疫情，為了預(yù)防疫情蔓延，全國各大醫(yī)藥廠商紛紛加緊生產(chǎn)口罩，某醫(yī)療器械生產(chǎn)工廠為了解目前的生產(chǎn)力，統(tǒng)計(jì)了每個(gè)工人每小時(shí)生產(chǎn)的口罩?jǐn)?shù)量（單位：箱），得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中每個(gè)工人每小時(shí)的產(chǎn)量均落在[10，70]內(nèi)，數(shù)據(jù)分組為[10，20）、[20，30）、[30，40）、[40，50）、[50，60）、，已知前三組的頻率成等差數(shù)列，第三組、第四組、第五組的頻率成等比數(shù)列，最后一組的頻率為．

（1）求實(shí)數(shù)a的值；

（2）在最后三組中采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取了6人，現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽出兩人對(duì)其它小組的工人進(jìn)行生產(chǎn)指導(dǎo)，求這兩人來自同一小組的概率．

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【題目】商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價(jià)格，及根據(jù)商品的最低銷售限價(jià)a，最高銷售限價(jià)b（b＞a）以及常數(shù)x（0＜x＜1）確定實(shí)際銷售價(jià)格c=a+x（b﹣a），這里，x被稱為樂觀系數(shù)．

經(jīng)驗(yàn)表明，最佳樂觀系數(shù)x恰好使得（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中項(xiàng)，據(jù)此可得，最佳樂觀系數(shù)x的值等于 ．

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