Question

如圖，某興趣小組測得菱形養(yǎng)殖區(qū)ABCD的固定投食點A到兩條平行河岸線l₁、l₂的距離分別為4米、8米，河岸線l₁與該養(yǎng)殖區(qū)的最近點D的距離為1米，l₂與該養(yǎng)殖區(qū)的最近點B的距離為2米．
（1）如圖甲，養(yǎng)殖區(qū)在投食點A的右側，若該小組測得∠BAD=60°，請據此算出養(yǎng)殖區(qū)的面積S，并求出直線AD與直線l₁所成角的正切值；
（2）如圖乙，養(yǎng)殖區(qū)在投食點A的兩側，試求養(yǎng)殖區(qū)面積S的最小值，并求出取得最小值時∠BAD的余弦值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,正弦定理,三角函數的最值

專題：計算題,應用題,函數的性質及應用,導數的綜合應用,解三角形,空間位置關系與距離

分析：（1）設AD與l₁所成夾角為α，則AB與l₂所成夾角為60°-α，從而得

3

sinα

=

6

sin(60°-α)

，從而求面積及正切值；
（2）設AD與l₁所成夾角為α，∠BAD=θ∈（120°，180°），則AB與l₂所成夾角為（180°-θ+α），從而得

3

sinα

=

6

sin(180°-θ+α)

，從而求S=（

3

sinα

）²sinθ=9（

5+4cosθ

sinθ

），求導求最值．

解答： 解：（1）設AD與l₁所成夾角為α，則AB與l₂所成夾角為60°-α，
對菱形ABCD的邊長“算兩次”得

3

sinα

=

6

sin(60°-α)

，解得tanα=

3

5

，
所以，養(yǎng)殖區(qū)的面積S=（

3

sinα

）²sin60°=42

3

（m²）；
（2）設AD與l₁所成夾角為α，∠BAD=θ∈（120°，180°）；
則AB與l₂所成夾角為（180°-θ+α），
對菱形ABCD的邊長“算兩次”得

3

sinα

=

6

sin(180°-θ+α)

，
解得，tanα=

sinθ

2+cosθ

；
所以，養(yǎng)殖區(qū)的面積S=（

3

sinα

）²sinθ=9（

5+4cosθ

sinθ

），
由S′=-9（

5cosθ+4

sin2θ

）=0得，
cosθ=-

4

5

；
經檢驗得，當cosθ=-

4

5

時，養(yǎng)殖區(qū)的面積有最小值，
最小值為S=27（m²）；
答：（1）養(yǎng)殖區(qū)的面積為42

3

m²；（2）養(yǎng)殖區(qū)的最小面積為27m²．

點評：本題考查了解三角形，三角變換，導數等在實際問題中的應用，屬于中檔題．