Question

淮北市某小區(qū)為了解居民對“小區(qū)物業(yè)管理”的滿意度，現(xiàn)隨機抽取
20人進行調查，滿分100分，調查得分制作為莖葉圖如下：其中得分在80分以上則認為“滿意”，得分在90分以上則認為“非常滿意”．
（1）從被調查的20人中選取3人，求至少有1人“非常滿意”的概率
（2）從被調查的20人中選取3人均認為“滿意”，求恰有1人“非常滿意”的概率；
（3）以這20人的調查情況來估計全市人民對“公交線路設置”的滿意度，隨機抽取3人，記其中“非常滿意”的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列,古典概型及其概率計算公式,離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由莖葉圖知被調查的20人中，有4人“非常滿意”，從被調查的20人中選取3人，由此利用對立事件概率計算公式能求出至少有1人“非常滿意”的概率．
（2）由莖葉圖知被調查的20人中，有7人認為“滿意”，有4人“非常滿意”，由此利用等可能事件概率計算公式能求出從被調查的20人中選取3人均認為“滿意”，恰有1人“非常滿意”的概率．
（3）由題意得ξ～B（3，

1

5

），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答： 解：（1）由莖葉圖知被調查的20人中，有4人“非常滿意”，
從被調查的20人中選取3人，設事件A“表示至少有1人‘非常滿意’”，
則至少有1人“非常滿意”的概率：
P（A）=1-

C 3 16

C 3 20

=

28

57

．
（2）由莖葉圖知被調查的20人中，有7人認為“滿意”，有4人“非常滿意”，
從被調查的20人中選取3人均認為“滿意”，恰有1人“非常滿意”的概率：
P=

C 2 7 C 1 4

C 3 20

=

7

95

．
（3）由題意得ξ～B（3，

1

5

），
P（ξ=0）=

C

0 3

(

1

5

)0(

4

5

)3=

64

125

，
P（ξ=1）=

C

1 3

(

1

5

)(

4

5

)2=

48

125

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(

1

5

)2(

4

5

)=

12

125

，
P（ξ=3）=

C

3 3

(

1

5

)3=

1

125

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	64 125	48 125	12 125	1 125

Eξ=3×

1

5

=

3

5

．

點評：本題考查滿足條件的實數(shù)值的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題．