Question

19．已知：（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ．
（1）若a₀+a₁+a₂+…+a_n=2046，求二項(xiàng)（2-x）ⁿ展開式中奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和；
（2）若a₀=8，求二項(xiàng)（1+2x）ⁿ展開式中系數(shù)最大項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）在所給的等式中，令x=1，求得n=10，按照二項(xiàng)式定理分別展開（2-x）ⁿ 和（2+x）ⁿ ，相加并令x=1，可得二項(xiàng)（2-x）ⁿ展開式中奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和．
（2）令x=0，可得n=8，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得（1+2x）ⁿ展開式中系數(shù)最大項(xiàng)．

解答 解：（1）∵（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ．
令x=1，可得a₀+a₁+a₂+…+a_n=2+2²+2³+…+2ⁿ=$\frac{2（1{-2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2=2046，∴n=10，
故（2-x）ⁿ =${C}_{10}^{0}$•2¹⁰+${C}_{10}^{1}$•2⁹（-x）+${C}_{10}^{2}$•2⁸•（-x）²+…+${C}_{10}^{10}$•（-x）¹⁰=${C}_{10}^{0}$•2¹⁰-${C}_{10}^{1}$•2⁹•x+${C}_{10}^{2}$•2⁸•x²-${C}_{10}^{3}$•2⁷•x³+…+${C}_{10}^{10}$•x¹⁰，
即（2-x）ⁿ =${C}_{10}^{0}$•2¹⁰-${C}_{10}^{1}$•2⁹•x+${C}_{10}^{2}$•2⁸•x²-${C}_{10}^{3}$•2⁷•x³+…+${C}_{10}^{10}$•x¹⁰ ①，
∴（2+x）ⁿ =${C}_{10}^{0}$•2¹⁰+${C}_{10}^{1}$•2⁹•x+${C}_{10}^{2}$•2⁸•x²+${C}_{10}^{3}$•2⁷•x³+…+${C}_{10}^{10}$•x¹⁰  ②，
把①②相加可得（2-x）ⁿ +（2+x）ⁿ=2[${C}_{10}^{0}$•2¹⁰+${C}_{10}^{2}$•2⁸•x²+…+${C}_{10}^{10}$•x¹⁰]，
再令x=1，可得二項(xiàng)（2-x）ⁿ展開式中奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為  ${C}_{10}^{0}$•2¹⁰+${C}_{10}^{2}$•2⁸+…+${C}_{10}^{10}$•2⁰=$\frac{1{+3}^{n}}{2}$．
（2）在所給的等式中，令x=0，可得a₀=n，若a₀=8，則n=8，
故二項(xiàng)（1+2x）ⁿ =（1+2x）⁸，它的展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{8}^{r}$•2^r•x^r，r=0，1，2，3，4，5，6，7，8，
檢驗(yàn)可得，當(dāng)r=5或 6時，該項(xiàng)的系數(shù)${C}_{8}^{r}$•2^r最大為1792，
故二項(xiàng)（1+2x）ⁿ展開式中系數(shù)最大項(xiàng)為 T₆=1792x⁵，或 T₇=1792 x⁶．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．