1.如圖,三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=$\sqrt{2}$,AC⊥BC,AC=BC=2,D在棱PB上,且PD=λPB(0<λ<1).
(Ⅰ)若AD⊥PC,求λ的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求二面角B-AD-C的正弦值.

分析 (Ⅰ)建立空間坐標(biāo)系,求出AD和PC對應(yīng)的向量,利用直線垂直和向量數(shù)量積的關(guān)系,利用向量法建立方程關(guān)系即可求λ的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求出平面的法向量先求出二面角的余弦值即可求二面角B-AD-C的正弦值.

解答 解:(Ⅰ)建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OA,OD分別為x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖:
則A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,$\sqrt{2}$),
則$\overrightarrow{PB}$=(2,2,-$\sqrt{2}$),$\overrightarrow{PC}$=(0,2,-$\sqrt{2}$),$\overrightarrow{AP}$=(0,0,$\sqrt{2}$),
∵PD=λPB,∴$\overrightarrow{PD}$=λ$\overrightarrow{PB}$=(2λ,2λ,-$\sqrt{2}$λ),
則$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{PD}$=(2λ,2λ,$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$λ),
∵AD⊥PC,∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{PC}$=0,即(2λ,2λ,$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$λ)•(0,2,-$\sqrt{2}$)=4λ-2+2λ=0,
得λ=$\frac{1}{3}$.
(Ⅱ)∵λ=$\frac{1}{3}$,∴$\overrightarrow{AD}$=(2λ,2λ,$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$λ)=($\frac{2}{3}$,$\frac{2}{3}$,$\frac{2\sqrt{2}}{3}$),則D($\frac{2}{3}$,$\frac{2}{3}$,$\frac{2\sqrt{2}}{3}$),
設(shè)面CAD的法向量為$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
則$\overrightarrow{AD}$=($\frac{2}{3}$,$\frac{2}{3}$,$\frac{2\sqrt{2}}{3}$),$\overrightarrow{DC}$=(0,2,0),
即$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$x+$\frac{2}{3}$y+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$z=0,$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{DC}$=2y=0,
設(shè)x=1,則$\overrightarrow{m}$=(1,0,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$),
取AB的中點(diǎn)O,連接OC,
∵AC=BC=2,∴CO⊥AB,
∵PA⊥平面PAB,
∴平面PAB的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{OC}$=(-1,1,0)
$cos<\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{2}•\sqrt{\frac{3}{2}}}$=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$,
則sin<$\overrightarrow{m}$,$\overrightarrow{n}$>=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,
即二面角B-AD-C的正弦值是$\frac{\sqrt{6}}{3}$.

點(diǎn)評 本題主要考查空間直線垂直及二面角的求解,建立坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用向量法是解決本題的關(guān)鍵.綜合考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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1.不等式(x-3)(x-1)>0的解集是( 。
A.{x|x>3}B.{x|1<x<3}C.{x|x>1}D.{x|x<1或x>3}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

2.某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響.對近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.
$\overline{x}$$\overline{y}$$\overline{w}$$\sum_{i=1}^{8}$(xi-$\overline{x}$)2$\sum_{i=1}^{8}({w}_{i}-\overline{w})^{2}$$\sum_{i=1}^{8}$(xi-$\overline{x}$)(y1-$\overline{y}$)$\sum_{i=1}^{8}$(wi-$\overline{w}$)(yi-$\overline{y}$)
 46.6 563 6.8289.81.6 1469 108.8
其中wi=$\sqrt{{x}_{i}}$,$\overline{w}$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^{8}$wi
(Ⅰ)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=a+bx與y=c+d$\sqrt{x}$哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;
(Ⅲ)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(Ⅱ)的結(jié)果回答下列問題,當(dāng)年宣傳費(fèi)x=49時,年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少?
附:對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸直線v=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:$\stackrel{∧}{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({u}_{i}-\overline{u})({v}_{i}-\overline{v})}{\sum_{i=1}^{n}({u}_{i}-\overline{u})^{2}}$,$\stackrel{∧}{α}$=$\overline{v}$-$\stackrel{∧}{β}$$\overline{u}$.

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19.已知:(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn
(1)若a0+a1+a2+…+an=2046,求二項(xiàng)(2-x)n展開式中奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和;
(2)若a0=8,求二項(xiàng)(1+2x)n展開式中系數(shù)最大項(xiàng).

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6.若函數(shù)f(x)=$\frac{2}{\sqrt{x}}$,則其導(dǎo)函數(shù)f′(x)=( 。
A.$\frac{1}{x\sqrt{x}}$B.-$\frac{1}{x\sqrt{x}}$C.-$\frac{2}{x\sqrt{x}}$D.-$\frac{2}{{x}^{2}}$

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6.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為$\frac{13π}{6}$.

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13.如圖所示,△ABC內(nèi)接于圓O,D是$\widehat{BAC}$的中點(diǎn),∠BAC的平分線分別交BC和圓O于點(diǎn)E,F(xiàn).
(Ⅰ)求證:BF是△ABE外接圓的切線;
(Ⅱ)若AB=3,AC=2,求DB2-DA2的值.

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10.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(  )
A.$\frac{π}{3}$B.$\frac{2π}{3}$C.πD.$\frac{4π}{3}$

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