Question

【題目】已知函數(shù),.

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若在有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義和已知條件求出的值；（2）將原方程有兩根轉(zhuǎn)為兩圖象與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)；（3）將要證明的不等式等價(jià)于證明，然后利用函數(shù)的單調(diào)性來進(jìn)行證明.

試題解析：（1）解：因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)榍�線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以，

解得

（2）解：原題等價(jià)于方程在有兩個(gè)不同根.

轉(zhuǎn)化為，函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個(gè)不同交點(diǎn).

又，即時(shí)，，時(shí)，，

所以在上單調(diào)增，在上單調(diào)減.從而

又有且只有一個(gè)零點(diǎn)是，且在時(shí)，，在在時(shí)，，

可見，要想函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

所以

（3）證明：因?yàn)?/span>,，

當(dāng)時(shí)，要證，只需證明

設(shè)，則在上單調(diào)遞增，

，，在上有唯一零點(diǎn)上

，

因?yàn)?/span>，所以即.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.

所以.

綜上可知，當(dāng)時(shí)，