Question

（2013•青島一模）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax+

b

x

，函數(shù)f（x）的圖象與x軸的交點也在函數(shù)g（x）的圖象上，且在此點有公切線．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）試比較f（x）與g（x）的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出函數(shù)f（x）的圖象與x軸的交點坐標(biāo)（1，0），代入函數(shù)g（x）后得到關(guān)于a，b的等式，再由兩函數(shù)在（1，0）處由公切線，得到關(guān)于a，b的另一等式，兩式聯(lián)立即可求得a，b的值；
（Ⅱ）令輔助函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），把函數(shù)f（x）和g（x）的解析式代入，整理后求出其導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)可知F（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，然后分0＜x＜1，x=1，x＞1進(jìn)行大小比較．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=lnx=0，得x=1，所以函數(shù)f（x）=lnx的圖象與x軸的交點坐標(biāo)是（1，0），
依題意，得g（1）=a+b=0  ①
又f′(x)=

1

x

，g′(x)=a-

b

x2

，∵f（x）與g（x）在點（1，0）處有公切線，
∴g^′（1）=f^′（1）=1，即a-b=1  ②
由①、②得a=

1

2

，b=-

1

2

；  
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x），
則F(x)=lnx-(

1

2

x-

1

2x

)=lnx-

1

2

x+

1

2x

，
函數(shù)F（x）的定義域為（0，+∞）．
∵F′(x)=

1

x

-

1

2

-

1

2x2

=-

1

2

(

1

x

-1)2≤0，
∴函數(shù)F（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．
當(dāng)0＜x＜1時，F(xiàn)（x）＞F（1）=0，即f（x）＞g（x）；
當(dāng)x=1時，F(xiàn)（x）=F（1）=0，即f（x）=g（x）；
當(dāng)x＞1時，F(xiàn)（x）＜F（1）=0，即f（x）＜g（x）．
綜上可知，當(dāng)0＜x≤1時，f（x）≥g（x）；當(dāng)x＞1時，f（x）＜g（x）．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，訓(xùn)練了構(gòu)造函數(shù)法比較兩個函數(shù)值的大小，考查了分類討論得數(shù)學(xué)思想方法，屬中檔題．