Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ln（1+x）}{x}$（x＞0）
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）證明：f（x）$＞\frac{2}{x+2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及導(dǎo)數(shù)和最值得關(guān)系即可求出；
（2）令h（x）=ln（1+x）-$\frac{2x}{x+2}$，利用導(dǎo)數(shù)和最值得關(guān)系即可證明．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{ln（1+x）}{x}$（x＞0），
∴f′（x）=$\frac{\frac{x}{1+x}-ln（1+x）}{{x}^{2}}$（x＞0），
設(shè)g（x）=$\frac{x}{1+x}$-ln（1+x），x＞0，
∴g′（x）=$\frac{1+x-x}{（1+x）^{2}}$-$\frac{1}{1+x}$=$\frac{-x}{（1+x）^{2}}$＜0，
∴g（x）在（0，+∞）為減函數(shù)，
∴g（x）＜g（0）=0，
∴f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）為減函數(shù)，
（2）令h（x）=ln（1+x）-$\frac{2x}{x+2}$，
∴h′（x）=$\frac{{x}^{2}}{（1+x）（2+x）^{2}}$，
x＞0時，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）＞h（0）=0，
∴l(xiāng)n（1+x）＞$\frac{2x}{x+2}$，
從而，x＞0時，f（x）＞$\frac{2}{x+2}$得證．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性最值得關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)了學(xué)生的運算能力，分析解決問題的能力，屬于中檔題．